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@@ -50,7 +50,7 @@ $$
 ### 数列极限
 
 - 等比数列前$n$项的和$S_n=\begin{cases} na_1 &r=1\\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} & r\not=1\end{cases}$.
-- $\sqrt{ab} \le {\frac{a+b}{2}} \le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}},(a,b\ge0)$.
+- $\sqrt{ab} \le {\frac{a+b}{2}} \le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},(a,b\ge0)$.
 
 ### 一元函数微分学
 
@@ -93,13 +93,10 @@ $$
 \arctan'x=\frac{1}{1+x^2}
 $$
 $$
-\arccot 'x=-\frac{1}{1+x^2}
-$$
-$$
 \sec'x=secx\cdot{tanx}
 $$
 $$
-\csc'x=-cscx\cdot{cotx}
+\cot'x=-cscx\cdot{cotx}
 $$
 $$
 \ln'(x+\sqrt{x^2+1})=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
@@ -137,10 +134,19 @@ $$
     - 设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶导，则
 
 $$
-(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+
+(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v''+...+C_n^{n-1}u'v^{(n-1)}+uv^{(n)}
 $$
 
+### 一元函数微分学的应用-几何应用
 
-$$
+- 设函数$f(x)$二阶可导，在$x=x_0$处取得最大值，则有$f''(x_0)\le0$.
+- 二阶可导点是拐点的必要条件：设$f''(x_0)$存在，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点，则$f''(x_0)=0$.
+- 二阶可导点是拐点的充分条件
+    - 在某点去心领域内二阶导数存在，在该点的左右两边$f''(x_0)$变号，则为拐点.
+    - $f(x)$在$x=x_0$的某邻域内三阶可导，$f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\not = 0$，则为拐点.
+    - 设$f(x)$在$x_0$处三阶导可导，且$f^{(m)}(x_0)=0(m=2,...,n-1)$，$f^{(n)}(x_0) \not = 0(n\ge3)$，则当$n$为奇数时，点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点.
 
-$$
+- 设多项式$f(x)=(x-a)^ng(x)(n>1)$，且$g(a) \not = 0$，则当$n$为偶数时，$x=a$是$f(x)$的极值点，则当$n$为奇数时，$x=a$是$f(x)$的拐点.
+- 设多项式$f(x)=(x-a_1)^{n_1}(x-a_2)^{n_2}...(x-a_k)^{n_k}$，其中$n_i$是正整数，$a_i$是实数，且互不相等，记$k_1$为$n_i=1$的个数，$k_2$为$n_i>1$且$n_i$为偶数的个数，$k_3$为$n_i>1$且$n_i$为奇数个数，则极值点的个数为$k_1+2k_2+k_3-1$，拐点个数为$k_1+2k_2+3k_3-2$.
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+### 一元函数微分学应用-中值定理、微分等式和微分不等式