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_posts/2023-11-05-Linear-Transformation-And-Matrix.md

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+一些我对线性变换以及矩阵的理解
+
+我认为学习数学要学会从几何的角度去理解
+
+## 线性变换
+
+代数学中，空间指的是赋予了某种运算结构的集合，“变换”是空间到空间的映射，而线性变换则是线性空间到线性空间的映射。定义如下：
+
+$V_1$ 和 $V_2$ 是两个线性空间，$f:V_1\rightarrow V_2$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的映射，$K$ 是域。如果满足：
+$$ \forall u,v\in V_1, \forall c\in K $$
+都有
+$$
+f(u+v)=f(u)+f(v)\\
+f(cu)=cf(u)
+$$
+则称 $f$ 是线性映射。
+
+$V_1$ 和 $V_2$ 可以是相同维度，此时线性映射是自身到自身的映射，即 $V_1=V_2$。
+
+## 矩阵
+
+矩阵是线性变换的一种表示形式，但矩阵并不等于线性变换。因此，一个矩阵就是一个线性变换，也是一个线性映射。形式如下：
+
+$M$ 是一个矩阵，列的维数是 $V_1$ 的维数， 行的维数是 $V_2$ 的维数。
+$$ \forall v_1\in V_1, \forall v_2\in V2 $$
+$$ Mv_1 = v_2$$
+
+当矩阵是个方阵时，即 $V_1$ 和 $V_2$ 维数相同，表示的是到自身的线性映射。
+
+## 可逆线性变换和可逆矩阵
+
+可逆线性变换指该线性映射存在逆映射，可逆矩阵即该矩阵存在逆矩阵，既然我们把矩阵作为线性映射的形式，则矩阵是否存在逆矩阵和线性映射是否存在逆映射是等价的。
+
+只有方阵存在逆矩阵，所以只有 $V_1$ 和 $V_2$ 维数相同的线性变换是可逆的。即：
+$$
+Mv_1 = v_2 \\
+v_1 = M^{-1}v_2
+$$
+
+## 方程组的角度看线性变换
+
+当我们知道 $M$ 和 $v_2$ ，求 $v_1$ 时，是在做降维操作。如果我们把这个行为当做解方程组来看，$v_1$ 维度小于 $v_2$ 表明方程组的个数大于未知变量的个数，一般是无解，但当方程组秩的个数（即消去一些方程后留下的有效方程的个数）等于 $v_1$ 维度时，有唯一解，此时有可能求出 $v_1$。
+
+同理，当 $v_1$ 维度大于 $v_2$时，是在降维。此时反过来去求 $v_1$ 是在升维。同样当做解方程组来看，此时方程组的个数小于未知变量的个数，可能有无穷多解或无解。因此，我们不可能求出 $v_1$ 。
+
+当 $v_1$ 等于 $v_2$ 时，同第一种情况，可能无解也可能有唯一解，当矩阵满秩时，矩阵可逆，可以求出 $v_1$。方程组的角度来讲，矩阵满秩，有效方程的个数等于未知变量的个数，方程组有界。
+
+## 映射到自身的线性变换 / 从几何角度看线性变换
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+这块内容从几何的角度讲比较好理解，高维类似，只是不能可视化。
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+图形学中常见的旋转变换，镜面变换， 缩放变换，剪切变换（不包括平移变换，后面会讲）都是映射到自身的线性变换。从几何角度观察这些变换，发现以下性质
+* 变换前两点之间的直线，变换后仍然为直线，不发生弯曲。
+* 线段的比例不发生变化
+* 坐标系原点不发生变化
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+以上性质其实就是线性变换/映射的几何解释。
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