commutators.qmd

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title: "Comutadores em grupos"
number-sections: true
lang: pt-BR
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## O problema

:::{.problem}
Seja $G$ um grupo. Se $x,y\in G$,  o *comutador* $[x,y]$ está definido como 
$$
[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy.
$$
O subgrupo derivado $G'$ de $G$ é definido como o subgrupo de $G$ gerado por todos os comutadores; ou seja, 
$$
G'=\left<[x,y]\mid x,y\in G\right>.
$$
É importante observar que o subgrupo derivado por definição não é apenas o conjunto dos comutadores, mas ele é o **subgrupo** gerado por este conjunto. Isso é porque o conjunto de comutadores pode não ser um subgrupo. No entanto, nos grupos pequenos, $G'$ coincide com o conjunto de comutadores. 
:::

## Exploração interativa

:::{.subexample}
Vamos explorar o conjunto de comutadores em um grupo dado. Considere por exemplo o grupo `SymmetricGroup( 5 )`. Vamos primeiro calcular o comutador de dois elementos. 

```matlab
gap> G := SymmetricGroup( 5 );
Sym( [ 1 .. 5 ] )
gap> x := (1,2,3,4,5);
(1,2,3,4,5)
gap> y := (1,2);
(1,2)
gap> x in G;
true
gap> y in G;
true
gap> Comm( x, y );
(1,2,3)
gap> Comm( x, y ) = x^-1*y^-1*x*y;
true
```

Ora, vamos computar o conjunto de comutadores de $G$ e comparamos este conjunto com o subgrupo derivado. 
```matlab
gap> comms := Set( Tuples( Elements( G ), 2 ), t->Comm( t[1],t[2]));
[ (), (3,4,5), (3,5,4), (2,3)(4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,3), (2,4,5), 
  (2,4)(3,5), (2,5,3), (2,5,4), (2,5)(3,4), (1,2)(4,5), (1,2)(3,4), 
  (1,2)(3,5), (1,2,3), (1,2,3,4,5), (1,2,3,5,4), (1,2,4,5,3), (1,2,4), 
  (1,2,4,3,5), (1,2,5,4,3), (1,2,5), (1,2,5,3,4), (1,3,2), (1,3,4,5,2), 
  (1,3,5,4,2), (1,3)(4,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,3)(2,4), (1,3,2,4,5), 
  (1,3,5,2,4), (1,3)(2,5), (1,3,2,5,4), (1,3,4,2,5), (1,4,5,3,2), (1,4,2), 
  (1,4,3,5,2), (1,4,3), (1,4,5), (1,4)(3,5), (1,4,5,2,3), (1,4)(2,3), 
  (1,4,2,3,5), (1,4,2,5,3), (1,4,3,2,5), (1,4)(2,5), (1,5,4,3,2), (1,5,2), 
  (1,5,3,4,2), (1,5,3), (1,5,4), (1,5)(3,4), (1,5,4,2,3), (1,5)(2,3), 
  (1,5,2,3,4), (1,5,2,4,3), (1,5,3,2,4), (1,5)(2,4) ]
gap> Size( comms ); 
60
gap> comms = Set( DerivedSubgroup( G ));
true
gap> DerivedSubgroup( G ) = AlternatingGroup( 5 );
true
```
A computação em cima mostra que no caso do grupo $S_5$, o subgrupo derivado (ou seja, o subgrupo $A_5$) coincide com o conjunto de comutadores. 
:::

## Tarefa 1

:::{.subproblem}
Escreva uma função `nr_commutators( G )` que para um grupo `G` dado, computa o número de comutadores distintos de `G`. A sua função deve verificar:

```matlab
gap> nr_comms( SymmetricGroup( 5 ));
60
gap> nr_comms( AlternatingGroup( 5 ));
60
gap> nr_comms( DihedralGroup( 20  ));
5
gap> nr_comms( AlternatingGroup( 4  ));
4
gap> nr_comms( PGL( 2, 7 ));
168
gap> Size( DerivedSubgroup( SymmetricGroup( 5 )));
60
gap> Size( DerivedSubgroup( AlternatingGroup( 5 )));
60
gap> Size( DerivedSubgroup( DihedralGroup( 10 )));
5
gap> Size( DerivedSubgroup( PGL( 2,7 )));
168
```
:::

:::{.hint}
Escreva uma função encapsulando o código no exemplo anterior.
:::

## Tarefa 2

:::{.subproblem}
Escreva uma função `commutator_set_is_subgroup( G )` para verificar se o conjunto de comutadores é igual ao subgrupo derivado de um grupo `G`. A função deve devolver `true` ou `false`. Note que é suficiente verificar se  a cardinalidade do conjunto de comutadores é igual à cardinalidade do subgrupo derivado. A sua função deve seguir os seguintes exemplos. 
```matlab 
gap> commutator_set_is_subgroup( SymmetricGroup( 5 ));
true
gap> commutator_set_is_subgroup( AlternatingGroup( 5 ));
true
gap> commutator_set_is_subgroup( DihedralGroup( 10 ));
true
gap> commutator_set_is_subgroup( PGL( 2, 7 ));
true
```
:::

## Tarefa 3

:::{.subproblem}
Usando a função `AllSmallGroups( Size, list )`, ache o menor grupo `G` tal que o conjunto de comutadores de `G` não é o subgrupo derivado. Por exemplo, vamos verificar que entre os grupos de ordem 24 isso não ocorre. 

```matlab
gap> List( AllSmallGroups( Size, [24] ), G -> commutator_set_is_subgroup( G ));
[ true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, 
  true, true, true ]
```
:::

## Tarefa 4

:::{.subproblem}
Seja $G$ o grupo encontrado na tarefa anterior.

1. Faça a lista dos elementos do subgrupo derivado $G'$ que não são comutadores. 
2. Escreva estes elementos como produto de comutadores de $G$. Demonstre que todo elemento de $G'$ pode ser escrito na forma $[x_1,x_2][y_1,y_2]$ com $x_i,y_i\in G$.
:::

:::{.hint}
O item 2. da tarefa anterior pode ser difícil resolver construindo todos os elementos  $[x_1,x_2][y_1,y_2]$, pois o número de possibilidades é muito grande. Um caminho alternativo é escolher elementos aleatórios $x_1,x_2,y_1,y_2$ até obter os elemendos desejados na forma $[x_1,x_2][y_1,y_2]$.
:::

## Tarefa 5

:::{.subproblem}
Para um grupo $G$ e $x\in G$, denote por $B_x(G)$ o seguinte conjunto:
$$
B_x(G)=\{u^{-1}x^{-1}uv^{-1}xv\mid u,v\in G\}. 
$$
<!--
B_x := function( G, x )
  local set1, set2;
  set1 := Set( G, z->z^-1*x^-1*z );
  set2 := Set( G, z->z^-1*x*z );
  return Set( Cartesian( set1, set2 ), z->z[1]*z[2] );
end;
-->

1. Escreva uma função `B_x( G, x )` que calcula $B_x(G)$ para um grupo $G$ e elemento $x\in G$. 
2. Decide quais dos seguintes grupos possui elemento $x$ tal que $B_x(G)=G$:
   - $D_8$, 
   - $Q_8$, 
   - $A_4$, 
   - $S_4$, 
   - $A_5$, 
   - $S_5$. 
:::

:::{.hint}
Use `Cartesian` para criar o produto cartesiano de duas listas ([manual](https://docs.gap-system.org/doc/ref/chap21.html#X7E1593B979BDF2CD)).
:::


<!-- 
nr_comms := function( G )
    return Size( Set( Tuples( Elements( G ), 2 ), t->Comm( t[1],t[2])));
end;
-->