Curso1.1.Rmd

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title: "Sistemas Complejos en Ecología - 1.1"
subtitle: "Conceptos Generales - Crecimiento exponencial"
author: "L.A. Saravia"
date: "06/2023"
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## Sistemas complejos 

* Muchos componentes que interactuan de formas no lineales

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* Tienen comportamientos emergentes/inesperados 

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* Modelos --> Sabemos que están mal: son modelos no la realidad

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* Creen que los sistemas biológicos funcionan de forma lineal?

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* Están formados por partes independientes que se suman? cuales son las retroalimentaciones? 

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* Escalas espaciales: cual es la escala espacial significativa?: es la escala de nuestras observaciones/experimentos?

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* Escalas temporales: los experimentos son el resultado del tratamiento o un transiente? Cómo encontrar la escala temporal significativa?

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* Variables de estado y variables forzantes=externas o ambientales
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## Del problema al concepto - el flujo de trabajo científico

* Problema, hay un problema o es una exploración?

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* Modelo científico conceptual

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* Modelo matemático/estadístico/computacional

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* Contrastación con los datos/ las predicciones del modelo son observadas?

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* Modelos como hipótesis

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* Volver al comienzo, reformular problema/modelo conceptual/ etc.

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## Ejercicio en documento de Google

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## Deterministas vs. Estocásticos 

* ¿Cuales son las suposiciones de las ecuaciones diferenciales?

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* Las ecuaciones implican que la población en algun momento tiene por ej. 10.8 individuos, eso implica que estaríamos haciendo un promedio. Si la población es un promedio estamos asumiendo que el proceso es probalístico. 

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* Si muestreamos una población en la naturaleza, hay muchos factores que pueden estar variando e influenciando los valores poblacionales

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* Pero si cultivamos una población experimental con un ambiente controlado, siempre vamos a encontrar los mismos resultados?

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* Hay Factores externos e internos de las poblaciones. 

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## Crecimiento Exponencial - Ecuaciones diferenciales

1.  $N(t+h)=N(t)+\lambda h N(t)$

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2.  $N(t+h)-N(t)=\lambda h N(t)$

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1.  $\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h}=\lambda N(t)$

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1.  Cuando $h \to 0$ se convierte en 

 $\dfrac{dN}{dt}=\lambda N$

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1. Que se puede integrar por partes y da 

  $N(t)=N_0 e^{\lambda t}$
  
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## Exponencial estocástico

* Supongamos que la probabilidad de que un organismo se reproduzca en un intervalo de tiempo h es $\lambda h$ 

$$N(t+h)=
\begin{cases}
N  & \text{no paso nada}\\
N-1  & \text{1 nacimiento}
\end{cases}$$

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* $P_N(t)=$ probabilidad de que la población sea de tamaño $N$ a tiempo $t$

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* $P_N(t+h)=P_N(t)(1-\lambda N h) + P_{N-1}(t) \lambda (N-1) h$

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* $\dfrac{P_N(t+h)-P_N(t)}{h}=-P_N(t)\lambda N  + P_{N-1}(t) \lambda (N-1)$

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* Cuando $h\to0$     
    
$$\dfrac{dP_N(t)}{dt}=-P_N(t)\lambda N  + P_{N-1}(t) \lambda (N-1)$$

* La solución es una distribución de probabilidades binomial negativa.

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## Simulaciones 

* Si la población es $N$ el tiempo $S$ al próximo evento (nacimiento) es una variable aleatoria con distribución exponencial
  
    $Pr(S\geq s)=e^{-\lambda N s}$
    
* Para simular un valor de $s$ generamos un numero al azar $Y$ entre 0 y 1

    $e^{-\lambda N s}=Y$
    
    $s = -\dfrac{log_e(Y)}{\lambda N}$

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* ¿Cuales son las suposiciones del modelo estocástico?

    * El proceso es una cadena de Markov, el estado futuro es dependiente del estado actual, independiente de los estados anteriores: $N \xrightarrow{\lambda N}N+1$
    
    * Los nacimientos o muertes son variables entre los individiduos: estocacidad demográfica.

   

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## Ejercicios

* Subir el código al repositorio de github de cada uno con el nombre Ejercicio01.jl

* Función para el Crecimiento exponencial deterministico discreto 
  con intervalo de tiempo $h$ variable

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* Función para el Decrecimiento exponencial estocastico

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* Adicional: Hacer que la tasa de nacimiento o mortalidad dependa de un factor externo, por ejemplo la temperatura.

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## Referencias

1. Black, A.J. & McKane, A.J. (2012). Stochastic formulation of ecological models and their applications. Trends Ecol. Evol., 27, 337–345 <https://drive.google.com/open?id=0BzexxHVKtpiAY05KZnJpMC10SWM>

1. Renshaw, E. (1993). Modelling biological populations in space and time. Cambridge University Press. Capitulo 2