06-analise-exploratoria.Rmd

# (PART) Estatística {-}

# Análise exploratória de dados

```{r external-code-cap6, cache=FALSE, include=FALSE}
knitr::read_chunk("scripts/analise-exploratoria-exercicios.R")
```

Nesta sessão vamos ver alguns (mas não todos!) comandos do R para fazer
uma análise descritiva de um conjunto de dados.

Uma boa forma de iniciar uma análise descritiva adequada é verificar os
tipos de variáveis disponíveis. Variáveis podem ser classificadas da
seguinte forma:

- Qualitativas
	- Nominais
	- Ordinais
- Quantitativas
	- Discretas
	- Contínuas

e podem ser resumidas por tabelas, gráficos e/ou medidas de tendência central e dispersão.

## O conjunto de dados `milsa`

O livro "Estatística Básica" dos Profs Wilton Bussab e Pedro Morettin [@bussab+morettin:2017] traz no
segundo capítulo um conjunto de dados hipotético de atributos de 36 funcionários da companhia "Milsa".
Os dados estão reproduzidos na tabela a seguir.
Consulte o livro para mais detalhes sobre este dados.

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
url <- "http://www.leg.ufpr.br/~fernandomayer/data/milsa.csv"
milsa <- read.csv("dados/milsa.csv")
knitr::kable(milsa)
```

Estes dados estão disponíveis em um arquivo `csv` no endereço
<http://www.leg.ufpr.br/~fernandomayer/data/milsa.csv>.

O nosso objetivo é, através do R,

- entrar com os dados;
- fazer uma preparação dos dados;
- fazer uma análise descritiva.

Estes são dados no "estilo planilha", com variáveis de diferentes tipos:
categóricas e numéricas (qualitativas e quantitativas). Portanto o
formato ideal de armazenamento destes dados no R é o `data.frame`.

Para importar os dados do endereço acima diretamente para o R, usamos

```{r, eval=FALSE}
url <- "http://www.leg.ufpr.br/~fernandomayer/data/milsa.csv"
milsa <- read.csv(url)
```

```{r, include=FALSE}
milsa <- read.csv("dados/milsa.csv")
```

E para conferir a estrutura dos dados podemos usar algumas funções como:

```{r}
str(milsa)
head(milsa)
tail(milsa)
```

Podemos classificar todas as variáveis desse conjunto de dados como:

| Variável    | Classificação         |
|-------------|-----------------------|
|`Funcionario`| Quantitativa discreta
|`Est.civil`  | Qualitativa nominal
|`Inst`       | Qualitativa ordinal
|`Filhos`     | Quantitativa discreta
|`Salario`    | Quantitativa contínua
|`Anos`       | Quantitativa contínua
|`Meses`      | Quantitativa contínua
|`Regiao`     | Qualitativa nominal

Como a variável `Inst` é qualitativa ordinal, podemos indicar para o R
que ela deve ser tratada como ordinal. Se observarmos os níveis desse
fator:

```{r}
levels(milsa$Inst)
```

já notamos que a ordenação está correta (da esquerda para a direita),
pois sabemos que a classificação interna dos níveis é por ordem
alfabética, e nesse caso, por coincidência, a ordem já está na sequência
correta. Mesmo assim, podemos indicar que este fator é ordinal, usando o
argumento `ordered` da função `factor()`

```{r}
milsa$Inst <- factor(milsa$Inst, ordered = TRUE)
```

Caso as classes em ordem alfabética não estivessem na ordem desejada feriamos a definição mais detalhada com:]

```{r}
milsa$Inst <- factor(milsa$Inst,
                     levels = c("1o Grau", "2o Grau", "Superior"),
                     labels = c("1o Grau", "2o Grau", "Superior"),
                                ordered = TRUE)
```

O argumento `levels` deve conter os valores que a variável assume na ordem desejada e `labels` são rótulos que serão usados para se referir a estes valores e que não necessáriamente precisam ter o mesmo nome que `levels` , mas precisam estar na ordem correta.


Note agora a modificação na classe dessa coluna, e a representação dos níveis:

```{r}
class(milsa$Inst)
milsa$Inst
```

A coluna continua sendo um `factor`, mas agora também é `ordered` (sim,
um objeto pode ter mais de uma classe, se elas foram compatíveis e/ou
complementares). Os níveis agora são representados por

```
1o Grau < 2o Grau < Superior
```

para indicar explicitamente que existe uma ordem nos níveis desse fator.

Podemos ainda definir uma nova variável, chamada `Idade`, a partir das
variáveis `Anos` e `Meses`:

```{r}
milsa$Idade <- milsa$Anos + milsa$Meses/12
```

Aproveitamos este comando para ilustrar uma opção interessante: usar `with` para referenciar diretamente a variávelo que vai ser tratado pelo comando. Desta forma elimina-se a necessidade de digitar `milsa$` mais de uma vez.

```{r}
milsa$Idade <- with(milsa, Anos + Meses/12)
```

Os dois comandos acima (de modificação da classe de uma variável, e a
criação de uma nova variável) poderiam ser facilmente executadas de uma
única vez através do comando `transform()`

```{r}
milsa <- transform(milsa,
                   Inst = factor(Inst, ordered = TRUE),
                   Idade = Anos + Meses/12)
```

Agora que os dados estão prontos podemos começar a análise descritiva.
A seguir mostramos como fazer análises descritivas uni e bivariadas.
Inspecione os comandos mostrados a seguir e os resultados por eles
produzidos.  Sugerimos ainda que o leitor use o R para reproduzir os
resultados mostrados no texto dos capítulos 1 a 3 do livro de Bussab &
Morettin, relacionados com este exemplo. Veja [aqui](https://rpubs.com/EstatBasica/Introd)
os scripts do livro.

## Análise univariada

A análise univariada consiste basicamente em, para cada uma das
variáveis individualmente:

- Classificar a variável quanto a seu tipo: qualitativa (nominal ou
  ordinal) ou quantitativa (discreta ou contínua).
- Obter tabelas, gráficos e/ou medidas que resumam a variável.

A partir destes resultados pode-se montar um resumo geral dos dados.

A seguir vamos mostrar como obter tabelas, gráficos e medidas com o R.
Para isto vamos selecionar uma variável de cada tipo para que o leitor
possa, por analogia, obter resultados para as demais.

### Variável Qualitativa Nominal

A variável `Est.civil` é uma qualitativa nominal. Desta forma podemos
obter: (i) uma tabela de frequências (absolutas e/ou relativas), (ii) um
gráfico de setores, (iii) a "moda", *i.e.* o valor que ocorre com maior
frequência.

Já vimos, através do resultado da função `str()` acima, que esta
variável é um fator. A seguir obtemos frequências absolutas e relativas
(note duas formas diferentes de obter as frequências relativas).

```{r}
## Frequência absoluta
civil.tb <- with(milsa, table(Est.civil))
civil.tb
## Frequência relativa, calculando manualmente
civil.tb/sum(civil.tb)
## Frequência relativa, com a função prop.table()
prop.table(civil.tb)
```

Os gráficos de barras e de setores são adequados para representar esta
variável. Os comandos `barplot()` e `pie()` usam o resultado da função
`table()` para gerar os gráficos:

```{r, fig.show='hold'}
par(mfrow = c(1,2), mar=c(3,3,0.5,0.5))
barplot(civil.tb)
pie(civil.tb)
par(mfrow = c(1,1))
```

A *moda* de qualquer variável aleatória é definida como o valor mais
frequente encontrado na amostra. No R não há uma função pronta para
"calcular" a moda, pois ela pode ser obtida facilmente através do uso de
funções básicas. Uma opção seria usar os comandos abaixo:

```{r}
names(civil.tb)[which.max(civil.tb)]
```

Deixamos a cargo do leitor entender e interpretar esse comando.

### Variável Qualitativa Ordinal

Para exemplificar como obter análises para uma variável qualitativa
ordinal vamos selecionar a variável `Inst`.

As tabelas de frequências são obtidas de forma semelhante à mostrada
anteriormente.
```{r}
## Frequência absoluta
inst.tb <- with(milsa, table(Inst))
inst.tb
## Frequência relativa
prop.table(inst.tb)
```

O gráfico de setores não é adequado para este tipo de variável por não
expressar a ordem dos possíveis valores. Usamos então apenas um gráfico
de barras conforme mostrado abaixo

```{r}
barplot(inst.tb)
```

Em alguns casos podemos querer mostrar o gráfico de barras com as barras
classificadas da menor para a maior, ou vice-versa, independente da
ordem dos níveis. Para isso podemos usar a função `sort()` para ordenar
os valores da tabela e fazer o gráfico

```{r, fig.show='hold'}
par(mfrow = c(1,2))
## Menor para maior
barplot(sort(inst.tb))
## Maior para menor
barplot(sort(inst.tb, decreasing = TRUE))
par(mfrow = c(1,1))
```

Para uma variável ordinal, além da moda podemos também calcular outras
medidas, tais como a mediana conforme exemplificado a seguir. Note que
o comando `median()` não funciona com variáveis não numéricas, e por
isso usamos o comando seguinte.

```{r, error=TRUE}
## Moda
names(inst.tb)[which.max(inst.tb)]
## Mediana
with(milsa, median(Inst))             # só funciona para variáveis numéricas
with(milsa, median(as.numeric(Inst))) # traz a mediana da codificação do nível
with(milsa, levels(Inst)[median(as.numeric(Inst))]) # valor correto
```

### Variável quantitativa discreta

Vamos agora usar a variável `Filhos` (número de filhos) para
ilustrar algumas análises que podem ser feitas com uma quantitativa
discreta.

Frequências absolutas e relativas são obtidas como anteriormente. Também
vamos calcular a frequência acumulada, onde a frequência em uma classe é
a soma das frequências das classes anteriores. Para isso usamos a função
`cumsum()`, que já faz a soma acumulada.

```{r}
## Frequência absoluta
filhos.tb <- with(milsa, table(Filhos))
filhos.tb
## Frequência relativa
filhos.tbr <- prop.table(filhos.tb)
filhos.tbr
## Frequência acumulada
filhos.tba <- cumsum(filhos.tbr)
filhos.tba
```

O gráfico adequado para frequências absolutas de uma variável discreta é
parecido com um gráfico de barras, mas nesse caso, as frequências são
indicadas por linhas. Usando a função `plot()` em um objeto resultado da
função `table()`, o gráfico adequado já é selecionado:

```{r}
plot(filhos.tb)
```

Outra possibilidade seria fazer gráficos de frequências relativas e de
frequências acumuladas conforme mostrado na

```{r, fig.show='hold'}
par(mfrow = c(1,2))
## Frequência relativa
plot(filhos.tbr)
## Frequência relativa acumulada
plot(filhos.tba, type = "S") # tipo step (escada)
par(mfrow = c(1,1))
```

Sendo a variável numérica há uma maior diversidade de medidas
estatísticas que podem ser calculadas.

A seguir mostramos como obter algumas medidas de posição: moda, mediana,
média e média aparada. Note que o argumento `na.rm = TRUE` é necessário
porque não há informação sobre número de filhos para alguns indivíduos
(`NA`). Para calcular a média aparada, usamos o argumento `trim = 0.1`
que indica que a média deve ser calculada excluindo-se 10% dos menores e
10% dos maiores valores do vetor de dados. Ao final mostramos como obter
os quartis, incluido o mínimo e o máximo.

```{r}
## Moda
names(filhos.tb)[which.max(filhos.tb)]
## Mediana
median(milsa$Filhos, na.rm = TRUE)
## Média
with(milsa, mean(Filhos, na.rm = TRUE))
## Média aparada
with(milsa, mean(Filhos, trim = 0.1, na.rm = TRUE))
## Quartis
with(milsa, quantile(Filhos, na.rm = TRUE))
```

Passando agora para medidas de dispersão, vejamos como obter o máximo e
mínimo, e com isso a amplitude, além da variância, desvio padrão, e
coeficiente de variação. Também obtemos os quartis para calcular a
amplitude interquartílica.

```{r}
## Máximo e mínimo
with(milsa, max(Filhos, na.rm = TRUE))
with(milsa, min(Filhos, na.rm = TRUE))
## As duas informações juntas
with(milsa, range(Filhos, na.rm = TRUE))
## Amplitude é a diferença entre máximo e mínimo
with(milsa, diff(range(Filhos, na.rm = TRUE)))
## Variância
with(milsa, var(Filhos, na.rm = TRUE))
## Desvio-padrão
with(milsa, sd(Filhos, na.rm = TRUE))
## Coeficiente de variação
with(milsa, 100*sd(Filhos, na.rm = TRUE)/mean(Filhos, na.rm = TRUE))
## Quartis
(filhos.qt <- with(milsa, quantile(Filhos, na.rm = TRUE)))
## Amplitude interquartílica
filhos.qt[4] - filhos.qt[2]
```

Finalmente, podemos usar a função **genérica** `summary()` para resumir
os dados de uma só vez

```{r}
with(milsa, summary(Filhos))
```

### Variável quantitativa contínua

Para concluir os exemplos para análise univariada vamos considerar a
variável quantitativa contínua `Salario`.

Para se fazer uma tabela de frequências de uma variável contínua, é preciso
primeiro agrupar os dados em classes. Nos comandos mostrados a seguir
verificamos inicialmente os valores máximo e mínimo dos dados, depois
usamos o critério de Sturges para definir o número de classes. Usamos
a função `cut()` para agrupar os dados em classes e finalmente obtemos
as frequências absolutas e relativas.

```{r}
## Máximo e mínimo
with(milsa, range(Salario))
## Número de classes estimado, com base no critério de Sturges. Veja
## outras opções em ?nclass
with(milsa, nclass.Sturges(Salario))
## Criando as classes com a função cut(), usando os valores mínimos e
## máximos dados em range()
with(milsa, cut(Salario, breaks = seq(4, 23.3, length.out = 8)))
```

Note que uma das classes é `NA`. Isso ocorre pela definição das classes,
que por padrão é no formato `(a,b]`, ou seja, o intervalo é aberto em
`a` (não inclui `a`) e fechado em `b` (inclui `b`). Podemos alterar esse
padrão usando o argumento `include.lowest = TRUE`,

```{r}
with(milsa, cut(Salario, breaks = seq(4, 23.3, length.out = 8),
    include.lowest = TRUE))
```

E note que agora a primeira classe fica `[a,b]`, ou seja, fechada
(incluindo) os dois lados. Para que o intervalo seja fechado à esquerda,
usamos o argumento `right = FALSE`. As combinações possíveis para esses
dois argumentos, e as classes resultantes são apresentadas na tabela
abaixo:

             Argumentos                   Resultado
  --------------------------------- ---------------------
   `include.lowest = T, right = T`   `[a,b], ..., (y,z]`
   `include.lowest = F, right = T`   `(a,b], ..., (y,z]`
   `include.lowest = F, right = F`   `[a,b), ..., [y,z)`
   `include.lowest = T, right = F`   `[a,b), ..., [y,z]`

Outra opção para "acomodar" todos os extremos dentro das classes, seria
naturalmente atribuir valores um pouco menores que o mínimo, e um pouco
maiores que o máximo. Abaixo, usamos essa abordagem e fazemos uma tabela
com as frequências absolutas e relativas.

```{r}
salario.cut <- with(milsa,
                    cut(Salario, breaks = seq(3.5, 23.5, length.out = 8)))
salario.cut
## Tabela com as frequencias absolutas por classe
salario.tb <- table(salario.cut)
salario.tb
## Tabela com as frequências relativas
prop.table(salario.tb)
```

Na sequência vamos mostrar dois possíveis gráficos para variáveis
contínuas: o histograma e o *box-plot*.

Para fazer um histograma usamos a função `hist()`, por exemplo,

```{r}
with(milsa, hist(Salario))
```

A função `hist()` possui vários argumentos para alterar o comportamento
da saída do gráfico. Por exemplo, com `labels = TRUE` as frequências são
mostradas acima de cada barra. Com `freq = FALSE`, o gráfico é feito com
as frequências relativas. O título no alto do gráfico pode ser redefinido ou excluído usando o argumento `main`. A divisão das classes segue os mesmo padrões de função `cut()`.

```{r}
with(milsa, hist(Salario, freq = FALSE, labels = TRUE, main=""))
```

Por padrão, a função `hist()` calcula automaticamente o número de
classes e os valores limites de cada classe. No entanto, isto pode ser
alterado com o argumento `breaks`, que pode receber um vetor
definindo os limites das classes, uma função para definir as quebras, um
nome de critério (por exemplo, `"Sturges"`), ou um único escalar
definido o número de classes. As últimas três opções são apenas
sugestões utilizadas pela função. O argumento `nclass` também funciona
dessa forma, recebendo apenas um valor com o número de classes (como
sugestão).

```{r}
with(milsa, hist(Salario, nclass = 15))
```

Assim como na função `cut()`, os argumentos `include.lowest` e `right`
são utilizados para controlar a borda das classes.

Uma característica importante da função `hist()` é que ela retorna não
apenas o gráfico, mas também uma lista com as informações utilizadas
para construir o gráfico. Associando um histograma a um objeto, podemos
ver o seu conteúdo:

```{r}
salario.hist <- with(milsa, hist(Salario))
salario.hist
```

Estas informações podem então ser utilizadas para outros propósitos
dentro do R.

Os **boxplots** são úteis para revelar o centro, a dispersão e a
distribuição dos dados, além de **outliers**. São construídos da
seguinte forma:

- A linha central mais escura representa a mediana. Os extremos da
caixa são o $1^{o}$ ($q1$) e o $3^{o}$ ($q3$) quartis.
- As linhas que se extendem das caixas são definidas como:
$$q1-1,5\cdot IQR\ \qquad \mathrm{e}\ \qquad q3+1,5\cdot IQR$$
onde $IQR$ é o intervalo inter-quartil. As linhas vão até os valores
máximo e mínimo que ainda se encontram dentro deste intervalo.

```{r}
with(milsa, boxplot(Salario))
```

Existem também vários argumentos que permitem variações do *boxplot*,
tais como caixas com tamanho proporcional aos tamanhos
dos grupos (`varwidth = TRUE`), e caixas "acinturadas" (*notched
boxplot*) (`notch = TRUE`).

```{r}
with(milsa, boxplot(Salario, varwidth = TRUE, notch = TRUE))
```

Ambas opções são úteis quando há mais de um grupo e a comparação entre
os *boxplots* é facilitada.

Finalmente, podemos obter as medidas de posição e dispersão da mesma
forma que para variáveis discretas. Veja alguns exemplos a seguir. Note
que aqui não é necessário o uso do argumento `na.rm = TRUE`, pois não
existem `NA`s nesta variável.

```{r}
## Mediana
with(milsa, median(Salario))
## Média
with(milsa, mean(Salario))
## Média aparada
with(milsa, mean(Salario, trim = 0.1))
## Quartis
with(milsa, quantile(Salario))
## Máximo e mínimo
with(milsa, max(Salario))
with(milsa, min(Salario))
## As duas informações juntas
with(milsa, range(Salario))
## Amplitude é a diferença entre máximo e mínimo
with(milsa, diff(range(Salario)))
## Variância
with(milsa, var(Salario))
## Desvio-padrão
with(milsa, sd(Salario))
## Coeficiente de variação
with(milsa, 100 * sd(Salario)/mean(Salario))
## Quartis
salario.qt <- with(milsa, quantile(Salario))
## Amplitude interquartílica
salario.qt[4] - salario.qt[2]
```

## Análise Bivariada

Na análise bivariada procuramos identificar relações entre duas variáveis.
Assim como na análise univariada, estas relações podem ser resumidas por
gráficos, tabelas e/ou medidas estatísticas.
O tipo de resumo vai depender dos tipos das variáveis envolvidas.
Vamos considerar três possibilidades:

- Qualitativa *vs* qualitativa
- Qualitativa *vs* quantitativa
- Quantitativa *vs* quantitativa

Salienta-se ainda que:

- As análise mostradas a seguir não esgotam as possibilidades de
análises envolvendo duas variáveis e devem ser vistas apenas como uma
sugestão inicial.
- Relações entre duas variáveis devem ser examinadas com cautela pois
podem ser mascaradas por uma ou mais variáveis adicionais não
considerada na análise. Estas são chamadas **variáveis de
confundimento**. Análises com variáveis de confundimento não serão
discutidas neste ponto.

> **Observação**: de agora em diante, como serão consideradas mais de
> uma variável, será ainda mais vantajoso usar a função `with()` para
> chamar a maioria das funções.

### Qualitativa *vs* qualitativa

Vamos considerar as variáveis `Est.civil` (estado civil), e `Inst` (grau
de instrução). A tabela envolvendo duas variáveis é chamada **tabela de
cruzamento** ou **tabela de contingência**, e pode ser apresentada de
várias formas, conforme discutido a seguir.

A forma adequada de apresentação vai depender dos objetivos da análise e
da interpretação desejada para os dados. Inicialmente obtemos a tabela de
frequências absolutas para o cruzamento das duas variáveis, usando a
função `table()`. A tabela extendida incluindo os totais marginais pode
ser obtida com a função `addmargins()`.

```{r}
## Tabela de frequências absolutas
civ.inst.tb <- with(milsa, table(Est.civil, Inst))
civ.inst.tb
addmargins(civ.inst.tb)
```

<!-- Ver tambem margin.table() -->

Tabelas de frequências relativas são obtidas com `prop.table()`, mas
aqui existem três possibilidades para as proporções em cada casela:

- Em relação ao total geral.
- Em relação aos totais por linha (`margin = 1`).
- Em relação aos totais por coluna (`margin = 2`).

```{r}
## Frequência relativa global
prop.table(civ.inst.tb)
## Frequência relativa por linha
prop.table(civ.inst.tb, margin = 1)
## Frequência relativa por coluna
prop.table(civ.inst.tb, margin = 2)
```

Abaixo são representados quatro tipos de gráficos de barras que podem
ser usados para representar o cruzamento das variáveis. A transposição
da tabela com `t()` permite alterar a variável que define os grupos no
eixo horizontal. O uso de `prop.table()` permite o obtenção de gráficos
com frequências relativas.

```{r, fig.show='hold'}
par(mfrow = c(2,2))
barplot(civ.inst.tb, legend = TRUE)
barplot(t(civ.inst.tb), legend = TRUE)
barplot(civ.inst.tb, beside = TRUE, legend = TRUE)
barplot(t(prop.table(civ.inst.tb)), beside = TRUE, legend = TRUE)
par(mfrow = c(1,1))
```

<!-- Incluir aqui a medida de associacao chi-quadrado -->

<!-- Incluir reagrupamento -->

### Qualitativa *vs* quantitativa

Para exemplificar este caso vamos considerar as variáveis `Inst` e
`Salario`.

Para se obter uma tabela de frequências é necessário agrupar a variável
quantitativa em classes. No exemplo a seguir vamos agrupar a variável
salário em 4 classes definidas pelos quartis usando a função `cut()`.
Lembre-se que as classes são definidas por intervalos abertos à esquerda,
então usamos o argumento `include.lowest = TRUE` para garantir que todos
os dados, inclusive o menor (mínimo) seja incluído na primeira classe.
Após agrupar esta variável, obtemos a(s) tabela(s) de cruzamento como
mostrado no caso anterior.

```{r}
## Quartis de salario
with(milsa, quantile(Salario))
## Classificação de acordo com os quartis
salario.cut <- with(milsa, cut(Salario, breaks =  quantile(milsa$Salario),
                               include.lowest = TRUE))
## Tabela de frequências absolutas
inst.sal.tb <- with(milsa, table(Inst, salario.cut))
inst.sal.tb
prop.table(inst.sal.tb, margin = 1)
```

No gráfico vamos considerar que neste exemplo a instrução deve ser a
variável explicativa e portanto colocada no eixo X, e o salário é a
variável resposta, e portanto deve ser colocada no eixo Y. Isto é,
consideramos que a instrução deve explicar, ainda que parcialmente, o
salário (e não o contrário!).

Vamos então obter um *boxplot* dos salários para cada nível de
instrução. Note que na função abaixo, usamos a notação de **fórmula** do
R, com `Salario ~ Inst` indicando que a variável `Salario` é explicada,
ou descrita, ($\sim$) pela variável `Inst`.

```{r}
boxplot(Salario ~ Inst, data = milsa)
```

Poderíamos ainda fazer gráficos com a variável `Salario` agrupada
em classes, e neste caso os gráficos seriam como no caso anterior com
duas variáveis qualitativas.

Para as medidas descritivas, o usual é obter um resumo da variável
quantitativa como mostrado na análise univariada, porém agora informando
este resumo para cada nível do fator qualitativo de interesse.

A seguir mostramos alguns exemplos de como obter a média, desvio
padrão e o resumo de cinco números do salário para cada nível de
instrução.

```{r}
with(milsa, tapply(Salario, Inst, mean))
with(milsa, tapply(Salario, Inst, sd))
with(milsa, tapply(Salario, Inst, quantile))
```

> NOTE que aqui usamos a função `tapply()`. Para saber mais sobre os
> recursos dessa função e de outras da família `*apply`, veja o
> [script_gapminder.R](scripts/script_gapminder.R).

### Quantitativa *vs* Quantitativa

Para ilustrar este caso vamos considerar as variáveis `Salario` e
`Idade`.  Para se obter uma tabela é necessário agrupar as
variáveis em classes conforme fizemos no caso anterior.

Nos comandos abaixo, agrupamos as duas variáveis em classes definidas
pelos respectivos quartis, gerando portanto uma tabela de cruzamento
$4~\times~4$.

```{r}
## Classes de Idade
idade.cut <- with(milsa, cut(Idade, breaks = quantile(Idade),
                             include.lowest = TRUE))
table(idade.cut)
## Classes de salario
salario.cut <- with(milsa, cut(Salario, breaks = quantile(Salario),
                               include.lowest = TRUE))
table(salario.cut)
## Tabela cruzada
table(idade.cut, salario.cut)
prop.table(table(idade.cut, salario.cut), margin = 1)
```

Caso queiramos definir um número menor de classes podemos fazer como no
exemplo a seguir onde cada variável é dividida em 3 classes e gerando um
tabela de cruzamento $3~\times~3$.

```{r}
idade.cut2 <- with(milsa, cut(Idade,
                              breaks = quantile(Idade, seq(0, 1, length = 4)),
                              include.lowest = TRUE))
salario.cut2 <- with(milsa, cut(Salario,
                                breaks = quantile(Salario, seq(0, 1, length = 4)),
                                include.lowest = TRUE))
table(idade.cut2, salario.cut2)
prop.table(table(idade.cut2, salario.cut2), margin = 1)
```

O gráfico adequado para representar duas variáveis quantitativas é
um diagrama de dispersão. Note que se as variáveis envolvidas puderem
ser classificadas como "explicativa" e "resposta" devemos colocar a
primeira no eixo X e a segunda no eixo Y. Neste exemplo é razoável
admitir que a idade deve explicar, ao menos parcialmente, o salário e
portanto fazemos o gráfico com idade no eixo X. Note que na função
`plot()`, podemos usar tanto os argumentos `x` e `y`, quanto o formato
de fórmula (como visto anteriormente).

```{r, fig.keep='last'}
with(milsa, plot(x = Idade, y = Salario))
plot(Salario ~ Idade, data = milsa)
```

Para quantificar a associação entre variáveis deste tipo, usamos o
coeficiente de correlação. A função `cor()` possui opção para três
coeficientes de correlação, tendo como *default* o coeficiente de
correlação linear de Pearson.

```{r}
with(milsa, cor(Idade, Salario))
with(milsa, cor(Idade, Salario, method = "kendall"))
with(milsa, cor(Idade, Salario, method = "spearman"))
```

## Exercícios {-}

1. Experimente as funções `mean()`, `var()`, `sd()`, `median()`,
   `quantile()` nos dados mostrados anteriormente (`milsa`). Veja a
   documentação das funções e as opções de uso.
2. Carregue o conjunto de dados `women` com `data(women)`. Veja o que
   são os dados com `help(women)`, e faça uma análise descritiva
   adequada.
```{r ex2, eval=FALSE, include=FALSE}
```
3. Carregue o conjunto de dados `USArrests` com
   `data(USArrests)`. Examine a sua documentação com `help(USArrests)` e
   responda as perguntas a seguir:
    1. Qual o número médio e mediano de cada um dos crimes?
    2. Encontre a mediana e quartis para cada crime.
    3. Encontre o número máximo e mínimo para cada crime.
    4. Faça um gráfico adequado para o número de assassinatos (`Murder`).
    5. Faça um *boxplot* para o número de estupros (`Rape`).
    6. Verifique se há correlação entre os diferentes tipos de crime.
    7. Verifique se há correlação entre os crimes e a proporção de
	   população urbana.
    8. Encontre os estados com maior e menor ocorrência de cada tipo de
	   crime.
    9. Encontre os estados com maior e menor ocorrência per capta de cada
	   tipo de crime.
    10. Encontre os estados com maior e menor ocorrência do total de
		crimes.
    11. Calcule a média de crimes (entre `Murder`, `Assault` e `Rape`)
        para cada estado.
```{r ex3, eval=FALSE, include=FALSE}
```

A resolução de todos os exercícios desta página está disponível neste
[script](scripts/analise-exploratoria-exercicios.R).