03-TRI.Rmd

## Modelo de Teoria de Resposta ao Item {#sec:tri}

A teoria de resposta ao item (TRI) tem ganhado muito destaque com a expansão e
visibilidade de suas aplicações, principalmente em avaliações na área de
educação.  Os modelos básicos de TRI pode ser vistos como modelos de efeitos
aleatórios, com a particularidade que, na sua forma básica, não há parâmetros de
variância para estimar explicitamente.  Para ilustrar isso, será implementado o
modelo logístico de três parâmetros, destacando alguns casos particulares deste.

Considere o caso onde um teste é formado por $i$ questões e $j$ indivíduos são
avaliados.  O modelo logístico de três parâmetros postula que a probabilidade de
um indivíduo qualquer responder corretamente a cada uma das questões envolve:
(i) a habilidade latente do individuo $\theta_j$, (ii) a dificuldade $\beta_i$,
(iii) a discriminância $\alpha_i$ e (iv) a probabilidade de acerto casual $c_i$,
para cada uma das questões.  A equação do logístico de três parâmetros é:
\[
P(Y_{ij} | \theta_j ) = ( 1 - c_i) + \frac{c_i}{1 + \exp\{-\alpha_i(\theta_j - \beta_i)\}} .
\]

Pode-se identificar facilmente dois casos particulares.
 O primeiro quando a probabilidade de acerto casual é desprezível, ou seja, $c_i = 0$. 
 O segundo quando a discriminância  é igual para todas as questões, ou seja, $\alpha_i = \alpha$.  
 No caso de $\alpha =1$ tem-se o conhecido modelo de Rasch.

O modelo completo descrito de forma hierárquica fica da seguinte forma:
\begin{align*}
  Y_{ij} | \theta_j &\sim B(n = 1, p_{ij}) \\
  \theta_j &\sim N(0, 1).
\end{align*}

Para fazer inferência sobre os parâmetros deste modelo, é necessário a obtenção da verossimilhança marginal, obtida após a integração dos efeitos aleatórios, neste caso, as habilidades latentes $\theta_j$. O integrando desta verossimilhança marginal é o produto de uma binomial por uma gaussiana padrão, 
e não tem solução analítica. Desta forma, pode-se usar métodos para integração numérica 
como os já apresentados.

A implementação deste modelo segue os mesmos princípios dos outros modelos de efeitos aleatórios já apresentados porém com duas diferenças básicas. A primeira é que o preditor neste caso é não linear dado pelo modelo logístico. A segunda é que não temos o parâmetro de variância do efeito aleatório, 
que é neste caso suposto igual a $1$. 
Como primeiro passo, vamos implementar a função do modelo logístico com três parâmetros.

```{lemma}
**Definição do modelo logístico.**
```

```{r}
logistico <- function(beta, alpha, ce, theta){
        return(ce + (1-ce)* (1/(1+ exp(-alpha*(theta-beta)))))
}
```

Vamos criar uma função que permite obter simulações deste modelo.

```{lemma}
**Função para simular do modelo logístico de TRI.**
```

```{r}
simula.tri <- function(n.ind, beta, alpha, ce){
  theta <- rnorm(n.ind, 0, 1)
  p <- matrix(NA, ncol = length(beta), nrow = n.ind)
  y <- p
  for(i in 1:length(beta)){
  p[,i] <- logistico(beta = beta[i], alpha = alpha[i], 
                     ce = ce[i], theta=theta)}
  for(i in 1:n.ind){
  y[i,] <- rbinom(n=length(beta), size = 1, p = p[i,])}
  dados <- data.frame(y = y, ID = 1:100)
  return(dados)}
```

Para exemplificar o ajuste vamos simular um conjunto de dados com $100$ indivíduos e $5$ questões.
Definimos os seguinte valores para os parâmetros: 
$\beta_i = (-2,-1,0,1,2)$ e $\alpha = 1$ e $ce = 0$, ou seja, um modelo de Rasch. 

```{r}
set.seed(123)
dados <- simula.tri(n.ind=100, beta=c(-2,-1, 0, 1, 2), alpha=c(1,1,1,1,1), 
                    ce=c(0,0,0,0,0))
```

A seguir definimos uma função para computar o integrando da função de verossimilhança para um individuo.

```{lemma}
**Definição do integrando para modelo de Rasch.**
```

```{r}
integrando <- function(theta, b1, b2,b3, b4, b5, y, log = FALSE){
  beta <- c(b1,b2,b3,b4,b5)
  n.beta <- length(beta)
  p <- matrix(NA, ncol = n.beta, nrow = 1)
  ll = sapply(theta, function(thetai){
    for(i in 1:n.beta){
      p[,i] <- logistico(beta = beta[i], alpha = 1, ce = 0, 
                         theta=thetai)
    }
    sum(dbinom(y, size = 1, prob = p, log=TRUE)) + 
          dnorm(thetai, 0, 1, log=TRUE)})
  if(log == FALSE){ll <- exp(ll)}
  return(ll)
}
```

Para facilitar vamos usar para a integração numérica a função `integrate()`. 
Deixamos para o leitor implementar com as outras opções de integração numérica apresentadas.

```{lemma}
**Verossimilhança marginal do modelo Rasch.**
```

```{r}
marginal <- function(b1, b2, b3, b4, b5, dados){
  y.id <- split(dados, dados$ID)
  beta <- c(b1,b2,b3,b4,b5)
  print(round(beta,4))
  n.beta <- length(beta)
  integral <- c()
  for(i in 1:length(y.id)){
  integral[i] <- integrate(integrando, lower= -Inf, upper = Inf, 
                    b1 = b1, b2 = b2, b3 = b3, b4 = b4, b5 = b5, 
                    y = as.numeric(y.id[[i]][1:n.beta]))$value}
  ll <- sum(log(integral))
  return(-ll)
}
```

Por fim, podemos maximizar a função de log-verossimilhança marginal, usando o pacote `bbmle`.

```{r echo = FALSE, message = FALSE}
require(bbmle)
#save(ajuste, file="TRI.ajuste.RData")
load("TRI.ajuste.RData")
```

```{r}
summary(ajuste)
```

Esta é uma implementação simplesmente ilustrativa. 
Podemos torná-la muito mais rápida computacionalmente, 
escrevendo o integrando de uma forma mais eficiente e 
calculando apenas as integrais necessárias.

A seguir apresentamos os comandos para ajustar o mesmo modelo
utilizando o pacote `ltm` \@citep(ltm).
Os resultados coincidem com os anteriores porém a implementação
é claramente mais eficiente.

```{r}
require(ltm)
dados <- dados[,-6]
rasch(dados, constraint=cbind(length(dados)+1, 1))
```