Da "Recueil des travaux scientifiques des Leon Foucault", pp.437-441.
Immagini ad alta risoluzione prese da questa edizione
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Come punto di partenza, adotto, con poche variazioni, il moderatore di Watt (fig. 1, tav. 16), e lo collego a un meccanismo il cui scopo principale è mantenere costante la velocità in tutte le posizioni del sistema.
L'albero verticale SB fornisce l'attacco ai due bracci SM, SM', sospesi nello stesso punto e che portano alle loro estremità le masse M e M'. Nel mezzo dei due bracci si articolano le estremità dei due lati uguali che
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completano il parallelogramma, e le cui altre estremità si articolano insieme in un punto D con il manicotto che scorre lungo l'asse e si conclude inferiormente con un bordo sporgente.
Ora elenchiamo gli organi che concorrono a produrre l'isocronismo.
Se dal punto S (fig. 1), centro di sospensione dei bracci, si prende sull'albero una lunghezza pari a due dei lati del parallelogramma aumentata della distanza CD, si determina un punto B corrispondente al limite geometrico delle escursioni del bordo inferiore del manicotto. Questo punto così determinato diventa un centro di movimento per il raggio OB. D'altra parte, si prende in F un secondo punto fisso intorno al quale ruota una leva piegata AFu. Alla sua estremità superiore, questa leva si articola con una barretta AC, che, al suo centro, è collegata all'asta OB.
La barretta AC ha una lunghezza arbitraria che, per maggiore semplicità, si assume uguale a SM; e dal suo modo di articolazione risulta che mentre la sua estremità A si muove lungo una direzione sostanzialmente orizzontale, l'altra estremità C si muove lungo una direzione sostanzialmente verticale. Ora questa estremità C è dotata di un bottone che preme dal basso verso l'alto sul bordo del manicotto. Infine, nella parte inferiore della leva piegata è fissata una massa u il cui peso e posizione si determinano in modo da esercitare in A e lungo AC una pressione pari a Pcos φ , P essendo il peso delle due masse unite M M', e φ l'angolo della barretta AC con l'orizzontale AB. Con queste condizioni soddisfatte, il sistema avrà una velocità di rivoluzione che, invece di accelerare con la separazione delle masse come nel moderatore di Watt, manterrà, come dimostrerò, una velocità costante per qualunque valore dell'angolo α.
Come il semplice pendolo circolare, anche il moderatore di Watt, avendo i suoi due bracci sospesi nello stesso punto, compie la sua intera rivoluzione in un tempo dato dall'espressione:
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t, il tempo della rivoluzione, dipende quindi dall'angolo α; ma se anche il denominatore g fosse moltiplicato per cos α, la formula si ridurrebbe a
e in questo caso, essendo t indipendente da α, l'isocronismo sarebbe realizzato.
Ora, moltiplicare g per cos α, in pratica, significa agire verticalmente sulle masse con una forza:
(4) P (1- cos α)
Non resta che dimostrare che, in effetti, il meccanismo precedentemente descritto porta identicamente a questo risultato.
Per aiutare alla dimostrazione, riduciamo l'apparecchio ai suoi elementi geometrici e conserviamo nella nuova figura le stesse lettere della figura precedente (fig. 2).
Prendiamo AC = BS = SM = l; chiamiamo φ l'angolo BAC, AB diventa l * cos φ
Continuiamo a chiamare P il peso totale delle masse M e M'. Essendo tutti i lati del parallelogramma uguali a 1/2 * l, i tre punti M, M', C rimangono contenuti in un piano orizzontale, qualunque sia la posizione del sistema; ne consegue che una forza applicata in C e agente dal basso verso l'alto si trasmette interamente alle masse M e M'.
Supponiamo ora che una forza P uguale al peso delle masse e applicata sulla retta AC agisca lungo la direzione stessa di questa retta, la forza decomposta dalla resistenza che essa incontra perpendicularmente all'asse BS dà una componente verticale ascendente uguale a P * sin φ.
Ma l * sin φ = BC = l * (1 — cos α), quindi P * sin φ = P(l — cos α). Questa è la forza che sollecita verticalmente il punto C e che, agendo allo stesso modo sulle masse M e M', soddisfa alla condizione (1) necessaria per realizzare l'isocronismo.
Ma affinché la retta AC sia sollecitata da una forza costante P
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e lungo la direzione variabile AC, è ovvio che il punto A debba essere sollecitato nella direzione costante AB dalla forza variabile P * cos φ.
Se la retta AC avesse una lunghezza n diversa da l, si troverebbe allo stesso modo che la forza applicata in A dovrebbe avere il valore
Quindi, qualunque sia la lunghezza della retta AC, è necessario che la forza applicata alla base di questa retta e perpendicularmente all'asse sia uguale al peso delle masse moltiplicato per la proiezione orizzontale di questa retta rapportata alla lunghezza dei bracci.
Nell'esecuzione rappresentata nella figura 1, questa pressione è comunicata dal leveraggio piegato AFu, che trasmette una parte variabile del peso fissato sul braccio obliquo; resta da determinare la lunghezza del leveraggio e il valore del peso.
Incliniamo i bracci del modulatore sotto l'angolo di 45°, che sarà nell'applicazione la posizione più favorevole alla funzione del regolatore (fig. 1); prendiamo su una verticale dal punto A un punto fisso F a una distanza arbitraria AF, e da questo punto tracciamo una retta in B, otteniamo un angolo ω = AFB che determina l'inclinazione da dare al braccio obliquo Fu;
infine, essendo l' e l'' le lunghezze dei due bracci FA e Fu del leveraggio piegato,
fissiamo in u una massa di un peso pari a
Ma è ancora necessario giustificare la scelta dell'angolo ω, che ha appunto lo scopo di fare in modo che, nei cambiamenti di posizione del sistema, la componente trasmessa in A dal braccio verticale conservi approssimativamente questo valore variabile P * cos φ.
Cerchiamo quindi il valore da dare all'angolo x dell'inclinazione di Fu sul prolungamento di FA, in modo che la componente utile del peso u vari come la distanza AB. Questa condizione si esprime ponendo:
Ma, poiché AF e Fu sono solidali,
dω = dx e quindi x = ω
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Così, a condizione di inclinare il braccio Fu secondo l'angolo ω e di attribuire al peso e ai bracci della leva i valori determinati sopra, tale peso, agendo attraverso il sistema articolato, comunica infine alle masse M e M' una pressione ascendente che ha esattamente il valore desiderato:
(4) P (1-cos α)
Tuttavia, questo risultato è ottenuto rigorosamente solo al limite delle variazioni dell'angolo ω e solo finché l'arco descritto dal punto A può essere confuso con l'orizzontale AB; ma se c'è un motivo di errore, è estremamente piccolo e può diventare minore di qualsiasi valore sensibile.
Questi sono i dati su cui si può fare affidamento per ottenere in modo sicuro dal moderatore di Watt un dispositivo veramente isocrono e direttamente applicabile alla regolazione del movimento delle macchine e dei motori industriali. Infatti, quando il moderatore di Watt è stato modificato come appena detto, costituisce un indicatore molto preciso delle più piccole variazioni di forza che agiscono su di esso, e per farne il regolatore di una qualsiasi macchina, è sufficiente collegare il sistema articolato agli organi capaci di regolare la potenza o la resistenza. Si può anche utilizzarlo per comandare un orologio, una macchina a vapore o qualsiasi tipo di motore meccanico.
-- FINE --
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THÉORIE ET DESCRIPTION DU MODÉRATEUR ISOCHRONE A FORGE CENTRIFUGE.
Comme point de départ, j'adopte, à peu de chose près, le modérateur de Walt (fig. 1, pl. 16), et je le mets en relation avec un mécanisme qui a spécialement pour fonction de maintenir la vitesse constante dans toutes les positions du système.
L'arbre vertical SB donne attache aux deux bras S M, SM', suspendus en un même point et qui portent à leur extrémité les masses M et M'. Au milieu des deux bras s'articulent les extrémités des deux côtés égaux qui
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complètent le parallélogramme, et dont les autres extrémités s'articulent ensemble en un même point D avec le manchon qui glisse le long de Taxe et se termine inférieurement par un rebord saillant.
Maintenant énumérons les organes qui concourent à produire Tisochronisme.
Si à partir du point S (fig. 1), centre de suspension des bras, on prend sur Tarbre une longueur égale à deux des côtés du parallélogramme augmentée de la distance CD, on détermine un point R correspondant a la limite géométrique des excursions du bord inférieur du manchon. Ce point ainsi déterminé on en fait un centre de mouvement pour le rayon OB. D'un autre côté, on prend en F un second point fixe autour duquel sèment un levier coudé AEu. Par son extrémité supérieure, ce levier s'articule avec une barrette AC, qui, par son milieu, est reliée à la tige OB.
La barrette AC a une longueur quelconque que, pour plus de simplicité, on suppose dans la figure égale à SM ; et de son mode d'articulation il résulte que tandis que son extrémité A marche suivant une direction sensiblement horizontale, l'autre extrémité C se meut suivant une direction sensiblement verticale. Or cette extrémité C est armée d'un bouton qui s'appuie de bas en haut sur le rebord du manchon. Enfin à la partie inférieure du levier coudé se trouve fixée une masse u dont le poids et la position se déterminent de manière à exercer en A et suivant AC une pression égale à Pcos φ , P étant le poids des deux masses réunies M M', et φ l'angle de la barrette AC avec l'horizontale AB. Ces conditions étant remplies, le système aura une vitesse de révolution qui, au lieu de s'accélérer avec l'écartement des masses comme dans le modérateur de Watt, gardera, ainsi que je vais le démontrer, une vitesse constante pour toutes les valeurs de l'angle a.
De même que le simple pendule circulaire, le modérateur de Watt, ayant ses deux bras suspendus en un même point, accomplit sa révolution entière dans un temps qui a pour expression :
(formula a)
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t, le temps de la révolution, dépend donc de Tangle a ; mais si le dénominateur g était aussi multiplié par cos «, la formule se réduirait à
(formula 2)
et dans ce cas, t étant indépendant de a, l'isochronisme serait réalisé.
Or, multiplier g par cos a, cela revient en pratique à agir verticalement sur les masses avec une force :
(4) P * (1 - cos ALFA)
Il ne reste plus qu'à démontrer qu'en effet le mécanisme précédemment décrit amène identiquement ce résultat.
Pour aider à la démonstration, réduisons l'appareil à ses éléments géométriques, et conservons dans la nouvelle figure les mêmes lettres que précédemment (fig. 2).
Prenons AC = BS = SM = l; nommons phi l'angle B A C, A B devient l * cos phi
Continuons d'appeler P le poids total des masses M et M'. Les côtés du parallélogramme étant tous égaux à 1/2 * l , les trois points M, M', C, restent contenus dans un même plan horizontal, quelle que soit la position du système; il en résulte qu'une force appliquée en C et agissant de bas en haut se transmet tout entière aux masses M et M'.
Supposons maintenant qu'une force P égale au poids des masses et appliquée sur la droite A C agisse suivant la direction même de cette droite, la force décomposée par la résistance qu'elle éprouve perpendiculairement à l'axe BS donne une composante verticale ascendante égale à P * sin phi.
Mais I * sin phi == BC = l * (i — cos alfa), donc P * sin phi = P(l — cos alfa). Telle est la force qui sollicite verticalement le point C, et qui, agissant pareillement sur les masses M et M', satisfait à la condition (1) nécessaire pour réaliser l'isochronisme.
Mais pour que la droite A C soit sollicitée par une force constante P
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et suivant la direction variable A C, il faut évidemment que le point A soit sollicité dans la direction constante A B par la force variable P * cos phi.
Si la droite A C avait une longueur n différente de l, on trouverait de même que la force appliquée en A devrait avoir pour valeur P * (n/l) cos phi.
Ainsi quelle que soit la longueur de la droite A C, il faut que la force appliquée au pied de cette droite et perpendiculairement à l'axe soit égale au poids des masses multiplié par la projection horizontale de cette droite rapportée à la longueur des bras.
Dans l'exécution représentée figure 1, cette pression est communiquée par le levier coudé A Fu, qui transmet une partie variable du poids fixé sur le bras oblique; il reste à déterminer la longueur du levier et la valeur du poids.
Inclinons les bras du modérateur sous Tangle de 45°, qui sera dans l'application la position la plus favorable à la fonction du régulateur (fig. 1); prenons sur la verticale du point A un point fixe F à une distance arbitraire A F, et de ce point menons une droite en B, nous aurons un angle omega = AFB qui détermine l'inclinaison à donner au bras oblique F u;
enfin I' et l'' étant les longueurs des deux bras FA et F u du levier coudé, fixons en u une masse d'un poids égal P/(sin omega) * l'/l'' * cos phi, la pression horizontale transmise en A aura évidemment pour valeur P * cos phi.
Mais il faut encore justifier le choix de l'angle omega, qui a précisément pour but de faire que, dans les changements de position du système, la composante transmise en A par le bras vertical conserve sensiblement cette valeur variable P * cos phi.
Cherchons donc la valeur à donner à l'angle œ de l'inclinaison de F u sur le prolongement de FA, pour que la composante utile du poids u varie comme la distance AB. Cette condition s'exprime en posant :
d(ω)/tan(ω) = (d sin (x)) / sin(x) = dx / tan(x)
Mais, puisque A F et F u sont solidaires,
dω = dx e quindi x = ω
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Ainsi, à la condition d'incliner le bras F omega. suivant l'angle w, et de donner au poids et aux bras de levier les valeurs ci-dessus déterminées, ce poids, agissant par l'intermédiaire du système arlicuié, communique finalement aux masses M et M' une pression ascendante qui a précisément Ja valeur voulue :
(4) P (1-cos alfa)
Toutefois ce résultat n'est obtenu rigoureusement qu'à la limite des variations de l'angle omega, et qu'autant que l'arc décrit par le point A peut être confondu avec l'horizontale AB; mais s'il y a là une cause d'erreur elle est extrêmement petite et peut devenir moindre que toute valeur sensible.
Elles sont les données sur lesquelles on peut s'appuyer pour arriver d'une manière certaine à faire du modérateur de Watt un appareil réellement isochrone et directement applicable à la régularisation du mouvement des machines et des moteurs industriels. En effet, quand le modérateur de Watt a été modifié comme il vient d'être dit, il constitue un indicateur très-précis des moindres variations de force qui agissent sur lui, et pour en faire le régulateur d'une machine quelconque, il suffit de mettre le système articulé en relation avec les organes capables de réprimer la puissance ou la résistance. On peut l'employer également à diriger une horloge, ou une machine à vapeur, ou un motçur mécanique de quelque nature qu'il soit.