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-- PolRepDispersa.hs
-- Implementación de polinomios mediante listas dispersas.
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 17-abril-2023
-- ---------------------------------------------------------------------
{-# LANGUAGE TemplateHaskell #-}
{-# OPTIONS_GHC -fno-warn-unused-top-binds #-}
module TAD.PolRepDispersa
( Polinomio,
polCero, -- Polinomio a
esPolCero, -- Num a => Polinomio a -> Bool
consPol, -- Num a => Int -> a -> Polinomio a -> Polinomio a
grado, -- Polinomio a -> Int
coefLider, -- Num a => Polinomio a -> a
restoPol -- Polinomio a -> Polinomio a
) where
import Test.QuickCheck
-- Representaremos un polinomio mediante una lista de pares (grado,coef),
-- ordenados en orden decreciente según el grado. Por ejemplo, el
-- polinomio
-- 6x^4 -5x^2 + 4x -7
-- se representa por
-- [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)].
--
-- En la representación se supone que los primeros elementos de los
-- pares forman una sucesión estrictamente decreciente y que los
-- segundos elementos son distintos de cero.
newtype Polinomio a = Pol [(Int,a)]
deriving Eq
-- (escribePol p) es la cadena correspondiente al polinomio p. Por
-- ejemplo,
-- λ> escribePol (consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero)))
-- "3*x^4 + -5*x^2 + 3"
escribePol :: (Num a, Show a, Eq a) => Polinomio a -> String
escribePol pol
| esPolCero pol = "0"
| n == 0 && esPolCero p = show a
| n == 0 = concat [show a, " + ", escribePol p]
| n == 1 && esPolCero p = show a ++ "*x"
| n == 1 = concat [show a, "*x + ", escribePol p]
| a == 1 && esPolCero p = "x^" ++ show n
| esPolCero p = concat [show a, "*x^", show n]
| a == 1 = concat ["x^", show n, " + ", escribePol p]
| otherwise = concat [show a, "*x^", show n, " + ", escribePol p]
where n = grado pol
a = coefLider pol
p = restoPol pol
-- Procedimiento de escritura de polinomios.
instance (Num a, Show a, Eq a) => Show (Polinomio a) where
show = escribePol
-- Ejemplos de polinomios con coeficientes enteros:
ejPol1, ejPol2, ejPol3 :: Polinomio Int
ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero))
ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero))
ejPol3 = consPol 4 6 (consPol 1 2 polCero)
-- Comprobación de escritura:
-- > ejPol1
-- 3*x^4 + -5*x^2 + 3
-- > ejPol2
-- x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- > ejPol3
-- 6*x^4 + 2*x
-- polCero es el polinomio cero. Por ejemplo,
-- λ> polCero
-- 0
polCero :: Num a => Polinomio a
polCero = Pol []
-- (esPolCero p) se verifica si p es el polinomio cero. Por ejemplo,
-- esPolCero polCero == True
-- esPolCero ejPol1 == False
esPolCero :: Num a => Polinomio a -> Bool
esPolCero (Pol []) = True
esPolCero _ = False
-- (consPol n b p) es el polinomio bx^n+p. Por ejemplo,
-- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 3 0 ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 3 2 polCero == 2*x^3
-- consPol 6 7 ejPol2 == 7*x^6 + x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 4 7 ejPol2 == x^5 + 7*x^4 + 5*x^2 + 4*x
-- consPol 5 7 ejPol2 == 8*x^5 + 5*x^2 + 4*x
consPol :: (Num a, Eq a) => Int -> a -> Polinomio a -> Polinomio a
consPol _ 0 p = p
consPol n b p@(Pol xs)
| esPolCero p = Pol [(n,b)]
| n > m = Pol ((n,b):xs)
| n < m = consPol m c (consPol n b (Pol (tail xs)))
| b+c == 0 = Pol (tail xs)
| otherwise = Pol ((n,b+c) : tail xs)
where
c = coefLider p
m = grado p
-- (grado p) es el grado del polinomio p. Por ejemplo,
-- ejPol3 == 6*x^4 + 2*x
-- grado ejPol3 == 4
grado :: Polinomio a -> Int
grado (Pol []) = 0
grado (Pol ((n,_):_)) = n
-- (coefLider p) es el coeficiente líder del polinomio p. Por ejemplo,
-- ejPol3 == 6*x^4 + 2*x
-- coefLider ejPol3 == 6
coefLider :: Num t => Polinomio t -> t
coefLider (Pol []) = 0
coefLider (Pol ((_,b):_)) = b
-- (restoPol p) es el resto del polinomio p. Por ejemplo,
-- ejPol3 == 6*x^4 + 2*x
-- restoPol ejPol3 == 2*x
-- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x
-- restoPol ejPol2 == 5*x^2 + 4*x
restoPol :: Num t => Polinomio t -> Polinomio t
restoPol (Pol []) = polCero
restoPol (Pol [_]) = polCero
restoPol (Pol (_:xs)) = Pol xs
-- Generador de polinomios --
-- =======================
-- genPolinomio es un generador de polinomios. Por ejemplo,
-- λ> sample (genPol 1)
-- 7*x^9 + 9*x^8 + 10*x^7 + -14*x^5 + -15*x^2 + -10
-- -4*x^8 + 2*x
-- -8*x^9 + 4*x^8 + 2*x^6 + 4*x^5 + -6*x^4 + 5*x^2 + -8*x
-- -9*x^9 + x^5 + -7
-- 8*x^10 + -9*x^7 + 7*x^6 + 9*x^5 + 10*x^3 + -1*x^2
-- 7*x^10 + 5*x^9 + -5
-- -8*x^10 + -7
-- -5*x
-- 5*x^10 + 4*x^4 + -3
-- 3*x^3 + -4
-- 10*x
genPol :: (Num a, Arbitrary a, Eq a) => Int -> Gen (Polinomio a)
genPol 0 = return polCero
genPol _ = do
n <- choose (0,10)
b <- arbitrary
p <- genPol (div n 2)
return (consPol n b p)
instance (Num a, Arbitrary a, Eq a) => Arbitrary (Polinomio a) where
arbitrary = sized genPol
-- Propiedades de los polinomios
-- =============================
-- polCero es el polinomio cero.
prop_polCero_es_cero :: Bool
prop_polCero_es_cero =
esPolCero polCero
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- (consPol n b p) es un polinomio distinto del cero.
prop_consPol_no_cero :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_consPol_no_cero n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
not (esPolCero (consPol n b p))
-- (consPol (grado p) (coefLider p) (restoPol p)) es igual a p.
prop_consPol :: Polinomio Int -> Bool
prop_consPol p =
consPol (grado p) (coefLider p) (restoPol p) == p
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- el grado de (consPol n b p) es n.
prop_grado :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_grado n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
grado (consPol n b p) == n
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- el coeficiente líder de (consPol n b p) es b.
prop_coefLider :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_coefLider n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
coefLider (consPol n b p) == b
-- Si n es mayor que el grado de p y b no es cero, entonces
-- el resto de (consPol n b p) es p.
prop_restoPol :: Int -> Int -> Polinomio Int -> Property
prop_restoPol n b p =
n > grado p && b /= 0 ==>
restoPol (consPol n b p) == p
-- Verificación
-- ============
return []
verificaPol :: IO Bool
verificaPol = $quickCheckAll
-- La verificación es
-- λ> verificaPol
-- === prop_polCero_es_cero from /home/jalonso/alonso/estudio/Exercitium/Exercitium/src/TAD/PolRepDispersa.hs:156 ===
-- +++ OK, passed 1 test.
--
-- === prop_consPol_no_cero from /home/jalonso/alonso/estudio/Exercitium/Exercitium/src/TAD/PolRepDispersa.hs:162 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 264 discarded.
--
-- === prop_consPol from /home/jalonso/alonso/estudio/Exercitium/Exercitium/src/TAD/PolRepDispersa.hs:168 ===
-- +++ OK, passed 100 tests.
--
-- === prop_grado from /home/jalonso/alonso/estudio/Exercitium/Exercitium/src/TAD/PolRepDispersa.hs:174 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 266 discarded.
--
-- === prop_coefLider from /home/jalonso/alonso/estudio/Exercitium/Exercitium/src/TAD/PolRepDispersa.hs:181 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 251 discarded.
--
-- === prop_restoPol from /home/jalonso/alonso/estudio/Exercitium/Exercitium/src/TAD/PolRepDispersa.hs:188 ===
-- +++ OK, passed 100 tests; 254 discarded.
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-- True