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<title>Interpretación Abstracta de Programas Logicos</title>
<meta name="author" content="(Claudio Vaucheret)"/>
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<section id="sec-title-slide" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition=""><h1 class="title">Interpretación Abstracta de Programas Logicos</h1><h2 class="author">Claudio Vaucheret</h2><p class="date">Created: 2020-09-26 sáb 14:57</p>
</section>
<section id="table-of-contents">
<nav id="table-of-contents">
<h2>Table of Contents</h2>
<div id="text-table-of-contents">
<ul>
<li><a href="#/slide-org633829b">Introducción</a></li>
<li><a href="#/slide-org2e6163f">Analisis de Programas</a></li>
<li><a href="#/slide-org427c882">¿Qué es la Interpretación Abstracta?</a></li>
<li><a href="#/slide-org6474630">Ejemplo: La regla de los signos</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-org0ad695f">Algunas observaciones:</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-orgad1c684">Ejemplo: La regla de los signos (cont.)</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-org2d110f7">Algunas observaciones:</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org5d119e3">Ejemplo: La regla de los signos (cont.)</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-orga054d96">suma abstracta</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org85eb9cf">Observaciones Importantes</a></li>
<li><a href="#/slide-orga38d8e9">Propiedades de la Interpretación Abstracta</a></li>
<li><a href="#/slide-orge194c5c">Aproximaciones Correctas</a></li>
<li><a href="#/slide-org2ec9092">Aproximación del significado de un programa</a></li>
<li><a href="#/slide-org65314bb">Aproximación del significado de un programa (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-org95fe9d7">Dominio abstracto y función de concretización</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-org7115f1b">Ejemplo</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org1470d28">Función de abstracción</a></li>
<li><a href="#/slide-orgb288a6d">Significado abstracto y seguridad</a></li>
<li><a href="#/slide-orgc3f47b0">Demostrar propiedades en abstracto</a></li>
<li><a href="#/slide-org74b4bb0">Semánticas Colectoras</a></li>
<li><a href="#/slide-orgfb8fdf0">Estructura de Retículo</a></li>
<li><a href="#/slide-orgbb49b16">Ejemplo: aritmética entera de signos</a></li>
<li><a href="#/slide-org675c994">Ejemplo: aritmética entera de signos (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-org42662e7">El enfoque de la inserción de Galois</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-orgdbbeea2">La <i>Aproximación segura</i></a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org1abc04b">Terminación: condiciones en \(F_\alpha\) y \(D_\alpha\)</a></li>
<li><a href="#/slide-org2335048">Estructura de Retículos</a></li>
<li><a href="#/slide-org7c36f48">Terminación: Discusión</a></li>
<li><a href="#/slide-orga8d3da8">Análisis de programas lógicos</a></li>
<li><a href="#/slide-org06ccbfd">Caso de Estudio: Semántica de punto fijo</a></li>
<li><a href="#/slide-orgc775b43">Semántica de punto fijo: Ejemplo</a></li>
<li><a href="#/slide-org01e13c1">Interpretación abstracta "Bottom up"</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-org82527c1">Interpretación abstracta "Bottom up" (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-org3f09a63">Interpretación abstracta "Bottom up" (cont.)</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org7cf02b4">Ejemplo: simple inferencia de "tipos"</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-org8c64409">Ejemplo: simple inferencia de "tipos" (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-org8517dd6">Ejemplo: simple inferencia de "tipos" (cont.)</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org7f1818e">Análisis <b>bottom up</b> basado en \(T_P\): Discusión</a></li>
<li><a href="#/slide-org6540bcf">Análisis <b>Top down</b> (resumido)</a></li>
<li><a href="#/slide-org11e1e3d">Arbol AND-OR abstracto</a></li>
<li><a href="#/slide-orga43085f">Optimización de Punto Fijo</a></li>
<li><a href="#/slide-orgc44e2f6">Ciaopp</a></li>
<li><a href="#/slide-org49c9948">Aserciones</a></li>
<li><a href="#/slide-orgdff408b">Propiedades del estado de éxito</a></li>
<li><a href="#/slide-org040022f">Propiedades en la llamada y computación</a></li>
<li><a href="#/slide-org683f019">Composición de Aserciones</a></li>
<li><a href="#/slide-org227f1d1">Ejemplo de aserciones compuestas</a></li>
<li><a href="#/slide-org9e03bcf">Ejemplo de aserciones compuestas (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-org0431339">Ejemplo de aserciones compuestas (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-org8835d03">Ejemplo de aserciones compuestas (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-orgd1c03c9">Tipos Regulares</a></li>
<li><a href="#/slide-orge332489">Lenguaje de aserciones</a></li>
<li><a href="#/slide-org2e46afb">Lenguaje de aserciones (cont.)</a></li>
<li><a href="#/slide-orgcfad213">Ciaopp</a></li>
<li><a href="#/slide-org96d8301">Analisis</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-orgc2b5964">Analisis</a></li>
<li><a href="#/slide-org4a229f4">Analisis</a></li>
<li><a href="#/slide-org8ea2486">Analisis</a></li>
<li><a href="#/slide-org0848f79">Analisis</a></li>
<li><a href="#/slide-orgd490640">Analisis</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org33a17fb">Debugging</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-orgf28900e">Debugging</a></li>
<li><a href="#/slide-org8f516d7">Debugging</a></li>
<li><a href="#/slide-orgf58937b">Debugging</a></li>
<li><a href="#/slide-org4b9c886">Debugging</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-org862a4e1">Optimización</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-org1e60a73">Optimización</a></li>
<li><a href="#/slide-orgb4ee56b">Optimización</a></li>
<li><a href="#/slide-orgacbe89e">Optimizacion</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#/slide-orge7d87dc">Certificación</a>
<ul>
<li><a href="#/slide-org0bc0113">Certificación</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</nav>
</section>
<section>
<section id="slide-org633829b" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org633829b">Introducción</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">analisis / sintesis de programas (Ciencias de la Computación)</li>
<li class="fragment roll-in">Probar que un programa \(P\) tiene tal propiedad (analisis de programas)</li>
<li class="fragment roll-in">Alternativamente: Derivar propiedades que tiene el programa \(P\)</li>
<li class="fragment roll-in"><p>
Dado Un programa \(P\), generar un programa \(P'\) que sea:
</p>
<ul>
<li>en algún sentido equivalente a P</li>
<li>funcione mejor que \(P\) con respecto a algún criterio</li>
</ul>
<p>
(analisis / sintesis de programas)
</p></li>
<li class="fragment roll-in">Aproximación Estandard:
<ul>
<li>identificar que ocurre algún invariante y</li>
<li>especializar el programa para el caso particular</li>
</ul></li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org2e6163f" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org2e6163f">Analisis de Programas</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Frecuente en compiladores aunque raramente tratados en modo formal:
<ul>
<li>"optimización de código"</li>
<li>"eliminación de codigo muerto"</li>
<li>"movimiento de código"</li>
<li>…</li>
</ul></li>
<li class="fragment roll-in">Interpretación Abstracta provee un marco formal para desarrollar
herramientas de análisis de programas</li>
<li class="fragment roll-in">Fase de Análisis + fase de sintesis ≡ Interpretación Abstracta +
Transformación de Programas</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org427c882" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org427c882">¿Qué es la Interpretación Abstracta?</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in"><p>
Considere detectar que una rama no ocurre:
</p>
<div style="font-size: 150%;">
<div class="org-src-container">
<pre class="src src-C"><span style="color: #98fb98;">int</span> <span style="color: #eedd82;">x</span>,<span style="color: #eedd82;">y</span>,<span style="color: #eedd82;">z</span>; <span style="color: #7fffd4;">y</span>:=read(file); <span style="color: #7fffd4;">x</span>:= y * y;
<span style="color: #00ffff;">if</span> x >= 0 then z := 1 <span style="color: #00ffff;">else</span> z:= 0
</pre>
</div>
</div>
<ul>
<li>Analisis Exhaustivo en el dominio estandard: no termina</li>
<li>Razonamiento humano de los programas - Usa abstracciones o
aproximaciones: signos, ordenes de magnitud, par/impar, …</li>
<li>Idea Básica: usar representaciones <i>aproximadas</i> (generalmente
finitas) de los objetos computacionales para hacer tratable el
problema del analisis del flujo del programa</li>
</ul></li>
<li class="fragment roll-in">Analisis Abstracto es la formalización de esta idea:
<ul>
<li>define una semantica no estandard que puede aproximar el
<i>significado</i> o <i>funcionamiento</i> del programa en un modo finito</li>
<li>las expresiones son computadas en un dominio (abstracto)
aproximado en lugar del dominio concreto.</li>
</ul></li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org6474630" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org6474630">Ejemplo: La regla de los signos</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Consideremos el dominio \(D = Z\) (enteros)</li>
<li class="fragment roll-in">y el operador de multiplicación: \(* : Z^2 \to Z\)</li>
<li class="fragment roll-in">Definimos un <b>dominio abstracto</b>: \(D_\alpha = \{[-],[+]\}\)</li>
<li class="fragment roll-in"><p>
y la multiplicación abstracta \(*_\alpha : {D_\alpha}^2 \to D_\alpha\)
definido por:
</p>
<table>
<colgroup>
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
</colgroup>
<thead>
<tr>
<th scope="col" class="org-left">\(*_\alpha\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([-]\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([+]\)</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
</tr>
</tbody>
</table></li>
<li class="fragment roll-in">Esto nos permite razonar, por ejemplo, que \(y=x^2=x*x\) nunca es
negativo</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
<section id="slide-org0ad695f" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h3 id="org0ad695f">Algunas observaciones:</h3>
<ul>
<li>si tenemos \(z = x * y\) entonces:
si \(x,y \in Z\) son aproximados con \(x_\alpha, y_\alpha \in
D_\alpha\) entonces \(z \in Z\) es aproximado con \(z_\alpha = x_\alpha * y_\alpha\)</li>
<li>Es importante formalizar esta noción de aproximación para poder
probar que un análisis es correcto</li>
<li>La computación aproximada es generalmente menos precisa pero mas rápida.</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orgad1c684" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orgad1c684">Ejemplo: La regla de los signos (cont.)</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">De nuevo \(D = Z\) (enteros)</li>
<li class="fragment roll-in">y el operador \(* : Z^2 \to Z\)</li>
<li class="fragment roll-in">Definimos un <i>mas refinado</i> <b>dominio abstracto</b>: \(D'_\alpha = \{[-],[0],[+]\}\)</li>
<li class="fragment roll-in"><p>
y la multiplicación abstracta \(*_\alpha : {D'_\alpha}^2 \to D'_\alpha\)
definido por:
</p>
<table>
<colgroup>
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
</colgroup>
<thead>
<tr>
<th scope="col" class="org-left">\(*_\alpha\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([-]\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([0]\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([+]\)</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
</tr>
</tbody>
</table></li>
<li class="fragment roll-in">Esto nos permite razonar, que \(z=y*(0*x)\) es cero</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
<section id="slide-org2d110f7" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h3 id="org2d110f7">Algunas observaciones:</h3>
<ul>
<li>Hay un grado de libertad en definir operadores abstractos y
dominios diferentes</li>
<li>El requerimiento mínimo es que sea <b>seguro</b> o <b>correcto</b></li>
<li>Definiciones "seguras" diferentes llevan a clase de análisis diferentes</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org5d119e3" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org5d119e3">Ejemplo: La regla de los signos (cont.)</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">De nuevo \(D = Z\) (enteros)</li>
<li class="fragment roll-in">y el operador de <i>suma</i> \(+ : Z^2 \to Z\)</li>
<li class="fragment roll-in">No podemos usar: \(D'_\alpha = \{[-],[0],[+]\}\) porque no sabríamos
como representar el resultado de \([+] +_\alpha [-]\) (i.e. la suma
abstracta no sería cerrada)</li>
<li class="fragment roll-in">Un nuevo elemento "\(\top\)" (supremum) que es la aproximación para todo entero</li>
<li class="fragment roll-in">Nuevo <b>dominio abstracto</b>: \(D''_\alpha = \{[-],[0],[+],\top\}\)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
<section id="slide-orga054d96" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h3 id="orga054d96">suma abstracta</h3>
<ul>
<li><p>
\(+_\alpha : {D''_\alpha}^2 \to D''_\alpha\)
definido por:
</p>
<table>
<colgroup>
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
</colgroup>
<thead>
<tr>
<th scope="col" class="org-left">\(+_\alpha\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([-]\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([0]\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\([+]\)</th>
<th scope="col" class="org-left">\(\top\)</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
<td class="org-left">\([-]\)</td>
<td class="org-left">\([0]\)</td>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\([+]\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
<td class="org-left">\(\top\)</td>
</tr>
</tbody>
</table></li>
<li>Esto nos permite ahora razonar que \(z=x^2 + y^2\) nunca es negativo</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org85eb9cf" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org85eb9cf">Observaciones Importantes</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Además de la imprecisión debido a la "tosquedad" o lo "básico" de
\(D_\alpha\), las versiones abstractas de las operaciones
(que dependen de \(D_\alpha\)) pueden introducir mas imprecisión</li>
<li class="fragment roll-in">Así, la elección del <i>dominio abstracto</i> y la definición de las
<i>operaciones abstractas</i> son cruciales.</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orga38d8e9" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orga38d8e9">Propiedades de la Interpretación Abstracta</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Requeridas:
<ul>
<li>Exactitud - aproximaciones correctas: a causa de que las
propiedades mas "interesantes" son indecidibles el análisis
necesariamente tiene que ser aproximado. Queremos asegurarnos de
que el análisis es "conservador" y se equivoca en el "lado seguro"</li>
<li>Terminación - la compilación definitivamente debe terminar</li>
</ul></li>
<li class="fragment roll-in">Deseable - "en la práctica"
<ul>
<li>Eficiencia: en la práctica, el tiempo de análisis finito no es
suficiente: finito y pequeño</li>
<li>Precisión - de la información recopilada: depende de la idoneidad
de el dominio abstracto y el nivel de detalle al que el
procedimiento de interpretación imita la semántica del lenguaje</li>
<li>Utilidad: determina qué información vale la pena recopilar</li>
</ul></li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orge194c5c" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orge194c5c">Aproximaciones Correctas</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Idea básica en aproximación: para alguna propiedad \(p\) queremos mostrar
\[\forall x, x \in S \Rightarrow p(x)\]
Alternativa: construir un conjunto \(S_a \supseteq S\) y demostrar
\[\forall x, x \in S_a \Rightarrow p(x)\]
entonces, \(S_a\) es una aproximación segura de \(S\)</li>
<li class="fragment roll-in">Aproximación de funciones: para alguna propiedad \(p\) queremos mostrar
\[\forall x, x \in S \Rightarrow p(F(x))\]</li>
<li class="fragment roll-in">Una función
\[G: S \rightarrow S\] es una aproximación segura de \(F\) si
\[\forall x, x \in S, p(G(x)) \Rightarrow p(F(x))\]</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org2ec9092" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org2ec9092">Aproximación del significado de un programa</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">El significado de un programa \(P\) es un mapeo \(F_P\) de entrada a
salida, cuyos valores de entrada y salida \(\in\) a un dominio
"estándar" \(D\): \[F_P: D \rightarrow D\]</li>
<li class="fragment roll-in">"Elevemos" este significado para asignar <i>conjuntos</i> de entradas a
<i>conjuntos</i> de salidas \[F^*_P: \wp(D) \rightarrow \wp(D)\] donde \(\wp(S)\)
denota el conjunto potencia de S, y \[F_P^*(S) = \{F_P(x) \arrowvert x \in S\}\]</li>
<li class="fragment roll-in">Una función \[G: \wp(D) \rightarrow \wp(D)\] es una aproximación segura de
\(F_P^*\) si \[\forall S, S \in \wp(D), G(S) \supseteq F_P^*(S)\]</li>
<li class="fragment roll-in">Las propiedades se pueden demostrar usando \(G\) en lugar de \(F_P^*\)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org65314bb" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org65314bb">Aproximación del significado de un programa (cont.)</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Para alguna propiedad \(p\) queremos mostrar que para las
entradas - \(S, p(F_P^*(S))\)</li>
<li class="fragment roll-in">mostramos que para las entradas \(S_a, p(G(S_a))\)</li>
<li class="fragment roll-in">Dado que \(G(S_a) \supseteq F_P^*(S_a)\) para las entradas \(S_a, p(F_P^*(S_a))\)
(Nota: abuso de notación - \(F_P^*\) no funciona con valores abstractos \(S_a\))</li>
<li class="fragment roll-in">Siempre que \(F_P^*\) sea monótono: \[S_a \supseteq S \Rightarrow F_P^*(S_a) \supseteq F_P^*(S)\]</li>
<li class="fragment roll-in">Y como \(S_a \supseteq S\), entonces: para las entradas \(S, p(F_P^*(S))\)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org95fe9d7" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org95fe9d7">Dominio abstracto y función de concretización</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">El dominio \(\wp(D)\) se puede representar mediante un dominio
"abstracto" \(D_\alpha\) de representaciones finitas de (posiblemente) objetos infinitos en \(\wp(D)\)</li>
<li class="fragment roll-in">La representación de \(\wp(D)\) por \(D_\alpha\) se expresa mediante una
función (monótona) llamada función de concretización: \[\gamma :
D_\alpha → \wp(D)\] tal que \(\gamma(\lambda) = d\) si \(d\) es el
elemento más grande (bajo \(\supseteq\)) de \(\wp(D)\) que \(\lambda\)
describe [\((\wp(D), \supseteq)\) es obviamente una retículo completo]</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
<section id="slide-org7115f1b" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h3 id="org7115f1b">Ejemplo</h3>
<ul>
<li class="fragment roll-in">En el ejemplo de los "signos", con \(D_\alpha =
\{[-],[0],[+],\top \}\), \(\gamma\) viene dado por \[
\begin{align}
\gamma([-]) &= \{x \in Z \arrowvert x < 0 \} \\
\gamma([0]) &= \{0\} \\
\gamma([+]) &= \{x \in Z \arrowvert x > 0\} \\
\gamma(\top) &= Z \\
\end{align} \]</li>
<li class="fragment roll-in">\(\gamma(?) = \emptyset \rightarrow\) definimos \(\bot \arrowvert \gamma(\bot) = \emptyset\)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org1470d28" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org1470d28">Función de abstracción</h2>
<p>
También podemos definir (no estrictamente necesario) una función de
abstracción (monótona) \[\alpha : \wp(D) \rightarrow D_\alpha\]
\(\alpha(d) = \lambda\) si \(\lambda\) es el elemento "mínimo" de
\(D_\alpha\) que describe \(d\) [bajo un orden adecuado definido en los
elementos de \(D_\alpha\)]
</p>
<p>
p.ej. en el ejemplo de los "signos", \[
\begin{align}
\alpha(\{1, 2, 3\}) &= [+] (no \top) \\
\alpha(\{- 1, −2, −3\}) &= [-] (no \top) \\
\alpha(\{0\}) &= [0] \\
\alpha(\{- 1, 0, 1\}) &= \top \\
\end{align} \]
<img src="alphagamma2.png" alt="alphagamma2.png">
</p>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orgb288a6d" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orgb288a6d">Significado abstracto y seguridad</h2>
<ul>
<li>Ahora podemos definir una función de significado abstracto como
\[F_\alpha : D_\alpha \rightarrow D_\alpha\] que es segura si
\[\forall \lambda, \lambda \in D_\alpha, \gamma(F_\alpha(\lambda))
\supseteq F^*_P(\gamma(\lambda))\]
<img src="absmean2.png" alt="absmean2.png"></li>
<li>Entonces podemos probar una propiedad de la salida de una clase
dada de entradas, probando que todos los
elementos de \(\gamma(F_\alpha(\lambda))\) tienen tal propiedad</li>
<li>P.ej. puede demostrarse, una propiedad como "si este programa toma
un número positivo producirá un número negativo como salida"</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orgc3f47b0" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orgc3f47b0">Demostrar propiedades en abstracto</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Generando \(F_\alpha\):
<ul>
<li>\(F_P\) obtenido del programa y la semántica predefinida de
operadores \((x + z) ∗ 3\), \(F_P = (x + z) ∗ 3\)</li>
<li>Análisis automático: \(F_\alpha\) debería obtenerse del programa y
la semántica de operadores abstractos (propiedades compositivas)
\(\{odd, even, +_\alpha, ∗_\alpha\} \Rightarrow F_\alpha = (x +_\alpha z) ∗_\alpha odd\)</li>
</ul></li>
<li class="fragment roll-in">"Si este programa toma un número positivo, producirá un número
negativo como salida"</li>
</ul>
<ul>
<li class="fragment roll-in">\(P = (y := x ∗ −3)\), entrada \(x\), salida \(y\)</li>
<li class="fragment roll-in">\(F_P = x ∗ −3\)</li>
<li class="fragment roll-in">\(F_\alpha = x ∗_\alpha [-]\)</li>
<li class="fragment roll-in">\(F_\alpha([+]) = [+] ∗_\alpha [-] = [-]\)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org74b4bb0" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org74b4bb0">Semánticas Colectoras</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">La semántica de "entrada-salida" es a menudo demasiado tosca para un
análisis útil: información sobre el "Estado" en los puntos de
programa generalmente requieren \(\to\) "semánticas extendidas"</li>
<li class="fragment roll-in">Los puntos del programa se pueden alcanzar muchas veces, desde
diferentes puntos y en diferentes "Estados" \(\to\) "semanticas
colectoras"
\[\{x> 3\} y := x ∗ −3 \{y < −9 \} \mbox{ o } \{x < −3\} y := x ∗ −3 \{y > 9 \}\]
\[\{x = [+]\} y := x ∗ −3 \{y = [-]\} \mbox{ o } \{x = [-]\} y := x ∗ −3 \{y = [+]\}\]</li>
<li class="fragment roll-in">El análisis a menudo calcula una colección de estados abstractos
para un punto de programa. \[\{x = \{[+], [-]\}\} y := x ∗ −3 \{y = \{[-], [+]\}\}\]</li>
<li class="fragment roll-in">A menudo, es más eficiente "resumir" estados en uno que ofrezca la
mejor descripción \(\to\) estructura de retículo en un dominio abstracto \[\{x = \sqcup \{[+], [-]\}\} y := x ∗ −3 \{y = \sqcup \{[-], [+]\}\}\]</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orgfb8fdf0" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orgfb8fdf0">Estructura de Retículo</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">El ordenamiento en \(\wp(D), \subseteq\), induce un ordenamiento en
\(D_\alpha, \leq_\alpha\) ("se aproxima mejor") Por ejemplo, podemos
elegir \(\alpha(\{1, 2, 3\}) = [+] \mbox{ o } \alpha(\{1, 2, 3\}) =
\top\), pero \(\gamma([+]) = \{x \in Z \arrowvert x > 0\} \mbox{ y }
\gamma(\top) = Z\), y dado que \(\{x \in Z \arrowvert x > 0\}
\subseteq Z\) tenemos \([+] \leq_\alpha \top\), es decir, \([+]\) se
aproxima mejor que \(\top\), es mas preciso.</li>
<li class="fragment roll-in">Generalmente se requiere que \((D_\alpha, \leq_\alpha)\) sea una retículo completo</li>
<li class="fragment roll-in">Por lo tanto, para todo \(S \subseteq D_\alpha\) existe un único
mínimo límite superior \(\sqcup S \in D_\alpha\), es decir, tal que
<ul>
<li>\(\forall \lambda_S \in S, \lambda_S \leq_\alpha \sqcup S\)</li>
<li>\((\forall \lambda_S \in S, \lambda_S \leq_\alpha \lambda) \Rightarrow \sqcup S \leq_\alpha \lambda\)</li>
</ul></li>
<li class="fragment roll-in">Intuición: dado un conjunto de aproximaciones del "estado actual" en
un punto dado en un programa, para asegurarse de que sea la mejor
descripción "general" para el punto:
<ul>
<li>\(\sqcup S\) se aproxima a <i>todos</i> los elementos de \(S\)</li>
<li>\(\sqcup S\) es la mejor aproximación en \(D_\alpha\)</li>
</ul></li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orgbb49b16" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orgbb49b16">Ejemplo: aritmética entera de signos</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Consideramos \(D_\alpha = \{[-], [0], [+],\top\}\)</li>
</ul>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Agregamos \(\bot\) (infimum) para que \(\alpha(\emptyset)\) exista y
para tener una retículo completo: \(D_\alpha = \{\bot, [-], [0],
[+], \top\}\)</li>
<li class="fragment roll-in">(Intuición: representa un punto del programa que nunca será alcanzado)</li>
<li class="fragment roll-in">La función de concretización debe ampliarse con \[\gamma(\bot) =
\emptyset\]</li>
<li class="fragment roll-in">El reticulo es:
<img src="reticulo2.png" alt="reticulo2.png"></li>
<li class="fragment roll-in">\(\sqcup\{[+],[-]\} = \sqcup\{[-],[+]\} = \top\)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org675c994" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org675c994">Ejemplo: aritmética entera de signos (cont.)</h2>
<ul>
<li>Para hacer \(t\) mas significativo, consideramos \(D_\alpha =
\{\bot,[-],[0^-],[0],[0^+],[+],\top\}\)</li>
</ul>
<table>
<colgroup>
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left">\(\gamma(\bot)\)</td>
<td class="org-left">\(=\)</td>
<td class="org-left">\(\emptyset\)</td>
<td class="org-left">\(\gamma(\top)\)</td>
<td class="org-left">\(=\)</td>
<td class="org-left">\(Z\)</td>
<td class="org-left"> </td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\(\gamma([-])\)</td>
<td class="org-left">\(=\)</td>
<td class="org-left">\(\{x \in Z \arrowvert x < 0 \}\)</td>
<td class="org-left">\(\gamma([+])\)</td>
<td class="org-left">\(=\)</td>
<td class="org-left">\(\{x \in Z \arrowvert x > 0 \}\)</td>
<td class="org-left">\(\gamma([0]) = \{0\}\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\(\gamma([0^-])\)</td>
<td class="org-left">\(=\)</td>
<td class="org-left">\(\{x \in Z \arrowvert x \leq 0 \}\)</td>
<td class="org-left">\(\gamma([0^+])\)</td>
<td class="org-left">\(=\)</td>
<td class="org-left">\(\{x \in Z \arrowvert x \geq 0 \}\)</td>
<td class="org-left"> </td>
</tr>
</tbody>
</table>
<ul>
<li>El reticulo es: <img src="reticext2.png" alt="reticext2.png"></li>
<li>\(\sqcup\{[-],[0]\} = [0^-]\) representa con precisión un punto del programa donde una variable puede ser negativa o cero</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org42662e7" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org42662e7">El enfoque de la inserción de Galois</h2>
<ul>
<li>A continuación, nos referiremos a \(\wp(D)\) simplemente como \(D\)</li>
<li>Las semánticas (colectoras) de los programas a menudo son dadas por
\(lfp(F)\) (el mínimo \(S\) tal que \(S = F(S)\), Siendo \(F\) la función
semántica dependiente del programa en \(D\))</li>
<li>Por lo tanto, necesitamos relacionar este punto fijo con (el de) la
función semántica aproximada \(F_\alpha\) (que se aproxima a \(F\) y
opera sobre los elementos de un dominio abstracto \(D_\alpha\))</li>
<li>Suponga: \(D\) y \(D_\alpha\) son retículos completos; \(\gamma :
D_\alpha \rightarrow D\) y \(\alpha : D \rightarrow D_\alpha\) son
funciones monotónicas. La estructura \((D_\alpha, \gamma, D, \alpha)\)
se denomina <i>inserción de Galois</i> si:
<ul>
<li>\(\forall \lambda \in D_\alpha . \lambda = \alpha(\gamma(\lambda))\)</li>
<li>\(\forall d \in D . d \subseteq \gamma(\alpha(d))\)</li>
</ul></li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
<section id="slide-orgdbbeea2" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h3 id="orgdbbeea2">La <i>Aproximación segura</i></h3>
<ul>
<li>definida ahora en términos de una
inserción de Galois: Sea una inserción de Galois \((D_\alpha,
\gamma,D, \alpha), \lambda \in D_\alpha\) aproxima en forma segura a
\(d \in D\) ssi \(d \subseteq \gamma(\lambda)\)</li>
<li>Teorema fundamental [Cousot]: Dada una inserción de Galois
\((D_\alpha, \gamma, D, \alpha)\) y dos funciones (monótonas) \(F: D
\rightarrow D\) y \(F_\alpha: D_\alpha \rightarrow D_\alpha\) entonces
si \(F_\alpha\) es una aproximación de \(F\), \(lfp(F_\alpha)\) es una
aproximación de \(lfp(F)\)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org1abc04b" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org1abc04b">Terminación: condiciones en \(F_\alpha\) y \(D_\alpha\)</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">La pregunta es si \(lfp(F_\alpha)\) es finitamente computable</li>
<li class="fragment roll-in">El operador abstracto \(F_\alpha\) opera sobre los elementos de un
dominio abstracto \(D_\alpha\), que hemos requerido que sea un
retículo completo, y \(F_\alpha\) es monótona, por lo tanto
\[lfp(F_\alpha) = F_\alpha \uparrow n\] para algún \(n\) que nos
gustaría sea finito (es decir, nos gustaría que la secuencia de Kleene fuera finita)</li>
<li class="fragment roll-in">Recordando las características de los puntos fijos en retículos, la
secuencia de Kleene será finito en casos que incluyen:
<ul>
<li>\(D_\alpha\) es finito</li>
<li>\(D_\alpha\) es cadena ascendente finita</li>
</ul></li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org2335048" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org2335048">Estructura de Retículos</h2>
<table>
<colgroup>
<col class="org-left">
<col class="org-left">
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left">finito</td>
<td class="org-left">cadena finita ascendente</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><img src="finito2.png" alt="finito2.png"></td>
<td class="org-left"><img src="chain2.png" alt="chain2.png"></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">finito en profundidad</td>
<td class="org-left"> </td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><img src="finitedepht2.png" alt="finitedepht2.png"></td>
<td class="org-left"> </td>
</tr>
</tbody>
</table>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-org7c36f48" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="org7c36f48">Terminación: Discusión</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">Demostrar la monotonicidad de \(F_\alpha\) puede ser más difícil que
mostrar que \(D_\alpha\) cumple con las condiciones de finitud</li>
<li class="fragment roll-in">Puede haber un \(F_\alpha\) que termina incluso si no se cumplen las condiciones</li>
<li class="fragment roll-in">Las condiciones también se relajan restringiendo la clase de
programas (por ejemplo, los programas no recursivos presentan pocas dificultades, aunque apenas son interesantes)</li>
<li class="fragment roll-in">En algunos casos, una aproximación desde arriba (\(gfp(F_\alpha)\)) también puede ser interesante</li>
<li class="fragment roll-in">Existen otras alternativas a la finitud: profundidad acotada
dinámica, etc. (Ver: widening y narrowing)</li>
</ul>
<div class="slide-footer"></div>
</section>
</section>
<section>
<section id="slide-orga8d3da8" data-background="" data-background-size="" data-background-position="" data-background-repeat="" data-background-transition="">
<div class="slide-header"></div>
<h2 id="orga8d3da8">Análisis de programas lógicos</h2>
<ul>
<li class="fragment roll-in">¿Qué semántica?
<ul>
<li>Semántica declarativa: relacionada a qué es una consecuencia del programa
<ul>
<li>Semántica de la teoría de modelos mínimos</li>
<li>Semántica de punto fijo (basada en el operador \(T_P\))
(cf. estilo de base de datos, evaluación bottom-up )</li>
</ul></li>
<li>Semántica operativa: cercana al comportamiento del programa
<ul>
<li>Basado en resolución SLD (conjuntos éxitosos)</li>