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title: "Centralização e escalonamento de dados amostrais"
subtitle: "Prós, contras e aplicação na Engenharia de Avaliações"
author:
- Luiz Fernando Palin Droubi^[SPU/SC, luiz.droubi@planejamento.gov.br]
- Carlos Augusto Zilli^[UFSC/SC, carloszilli@hotmail.com]
- Willian Zonato^[SPU/SC, willian.zonato@planejamento.gov.br]
- Norberto Hochheim^[UFSC, hochheim@gmail.com]
date: "`r format(Sys.Date(), '%d/%m/%Y')`"
output:
html_document:
fig_caption: yes
keep_md: yes
pdf_document:
includes:
in_header: preamble.tex
keep_tex: yes
latex_engine: xelatex
number_sections: yes
toc: no
word_document: default
classoption: a4paper, 12pt
documentclass: article
geometry: left=2cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm
link-citations: yes
linkcolor: red
urlcolor: magenta
citecolor: green
csl: ABNT_UFPR_2011-Mendeley.csl
bibliography: bibliography.bib
---
```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = FALSE, fig.align = "center", fig.path = "images/",
dev = "CairoPNG", dpi = 300, fig.pos = "H", out.width = "70%",
warning = FALSE, message = FALSE
)
library(papeR)
library(summarytools)
library(stargazer)
library(knitr)
library(mosaic)
library(ggplot2)
library(ggthemes)
theme_set(theme_few())
```
```{r functions}
brf <- function(x, digits = 2, nsmall = 2, decimal.mark = ",", big.mark = ".", scientific = FALSE, ...) {
format(x, decimal.mark = decimal.mark, big.mark = big.mark, digits = digits,
nsmall = nsmall, scientific = scientific, ...)
}
br <- function(...) {
function(x) brf(x, ...)
}
reais <- function(prefix = "R$", ...) {
function(x) paste(prefix, brf(x, ...), sep = "")
}
porcento <- function (x) {
if (length(x) == 0)
return(character())
x <- plyr::round_any(x, scales:::precision(x)/100)
paste0(x * 100, "\\%")
}
gg_color_hue <- function(n) {
hues = seq(15, 375, length = n + 1)
hcl(h = hues, l = 65, c = 100)[1:n]
}
reciprocal_squared_trans <- function() scales::trans_new("reciprocal_squared", function(x) x^(-2), function(x) x^(-.5))
type <- ifelse(knitr::opts_knit$get("rmarkdown.pandoc.to") == "docx",
"text", knitr::opts_knit$get("rmarkdown.pandoc.to"))
```
# ESTUDO DE CASO
## Dados
```{r}
knitr::opts_knit$get("rmarkdown.pandoc.to")
```
Para este estudo de caso foram utilizados os dados disponíveis em Hochheim [-@hochheim2005, 74].
```{r, echo = FALSE}
library(appraiseR)
data("loteamento")
loteamento$topo <- factor(loteamento$topo,
levels = c("plano", "aclive", "declive"))
loteamento$pedologia <- factor(loteamento$pedologia,
levels = c("seco", "pantanoso"))
loteamento$tipo <- factor(loteamento$tipo,
levels = c("venda", "oferta"))
loteamento$inclinacao <- .01*loteamento$inclinacao
loteamento$valor[6] <- 44122.04
loteamento$valor[9] <- 21570.77
loteamento$valor[13] <- 19609.79
loteamento$VU <- with(loteamento, valor/area)
loteamento$VU <- ifelse(loteamento$tipo == "oferta",
.9*loteamento$VU,
loteamento$VU)
mean_incl <- mean(loteamento$inclinacao)
sd_incl <- sd(loteamento$inclinacao)
```
```{r, results='asis'}
dfSummary(loteamento, plain.ascii = FALSE, style = "grid",
graph.magnif = 0.75, valid.col = FALSE, tmp.img.dir = "/tmp")
```
## Modelo inicial
De posse de todos os dados, sem qualquer transformação exceto a da variável `inclinacao`, por construção, foi inicialmente ajustado um primeiro modelo, apenas para o saneamento da amostra, em que foram utilizadas as variáveis `frente` e `profundidade` em detrimento da variável `area`.
Os gráficos diagnósticos deste primeiro modelo podem ser vistos na figura \ref{fig:fitplots}. Como se pode ver nesta figura, os pontos 7 e 19 encontram-se bem afastados da média e foram excluídos do modelo final.
```{r fitplots, fig.cap="Modelo com todos os dados", out.width="30%", results='hide', fig.show='hold'}
fit <- lm(VU ~ frente + profundidade + I(inclinacao^2) + I(inclinacao^3) +
pedologia, data = loteamento)
mplot(fit, which = 1:6)
```
```{r}
fit <- update(fit, subset = -c(7, 19))
```
Segundo Hochheim, [-@hochheim2005, 74], o paradigma da região é um terreno plano e seco, com 15m de frente e 30m de profundidade.
Uma vez obtido o modelo final saneado, então, foi ajustado outro modelo, onde adotou-se a centralização das variáveis `frente` e `profundidade`, de acordo com o lote paradigma. Já a variável `inclinacao`, por possuir os termos quadrático e cúbico, com vias de reduzir a multicolinearidade, foi centralizada e escalanoda, de maneira que a nova variável inclinação tem média zero e desvio-padrão igual a 1.
Os dois modelos são correspondentes entre si, produzem as mesmas estimativas, porém apenas o modelo com as variáveis centralizadas e escalonadas conforme explicitado possui grau I de especificação pela NBR 14.653-02 [-@NBR1465302], conforme se pode notar na tabela \ref{tab:fits}.
```{r}
loteamento$frente <- as.vector(scale(loteamento$frente,
center = 15, scale = F))
loteamento$profundidade <- as.vector(scale(loteamento$profundidade,
center = 30, scale = F))
loteamento$inclinacao <- as.vector(scale(loteamento$inclinacao,
center = T, scale = T))
```
```{r fit1, fig.cap="Modelo saneado", out.width="30%", results='hide', fig.show='hold'}
fit1 <- lm(VU ~ frente + profundidade + I(inclinacao^2) + I(inclinacao^3) +
pedologia, data = loteamento, subset = -c(7, 19))
mplot(fit1, which = 1:6)
```
```{r fits, results='asis'}
stargazer(fit, fit1, type = type, header = FALSE, label = "tab:fits",
title = "Comparacão dos modelos com e sem centralização e escalonamento.",
decimal.mark = ",", digit.separator = ".",
intercept.bottom = FALSE, intercept.top = TRUE,
report = "vcstp*", star.cutoffs = c(0.30, 0.20, 0.10))
```
A tabela \ref{tab:tabela} mostra a tabela dos dados amostrais, com o acréscimo dos valores ajustados.
```{r tabela}
loteamento$yhat <- predict(fit1, newdata = loteamento)
loteamento$frente <- loteamento$frente + 15
loteamento$profundidade <- loteamento$profundidade + 30
loteamento$inclinacao <- loteamento$inclinacao*sd_incl + mean_incl
kable(loteamento, digits = 2, label = "tabela",
format.args = list(big.mark = ".", decimal.mark = ","), booktabs = TRUE,
caption = "Dados do modelo com valores ajustados.",
col.names = c(colnames(loteamento)[-10], "$\\widehat{VU}$"))
```
A figura \ref{fig:pplot} mostra o gráfico do poder de predição do modelo.
```{r pplot, fig.cap = "Poder de predição do modelo."}
power_plot(fit1)
```
## Coerência do modelo
O modelo é coerente, conforme pode-se notar nas estimativas abaixo:
```{r}
### Paradigma
p <- predict(fit1,
newdata = data.frame(frente = (15 - 15),
profundidade = (30 - 30),
inclinacao = (0 - mean_incl)/sd_incl,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Paradigma - Modelo Original
p_orig <- predict(fit,
newdata = data.frame(frente = 15,
profundidade = 30,
inclinacao = 0,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Mais frente
p1 <- predict(fit1,
newdata = data.frame(frente = (20 - 15),
profundidade = (30 - 30),
inclinacao = (0 - mean_incl)/sd_incl,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Mais frente - Modelo Original
p1_orig <- predict(fit,
newdata = data.frame(frente = 20,
profundidade = 30,
inclinacao = 0,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Mais profundidade
p2 <- predict(fit1,
newdata = data.frame(frente = (15 - 15),
profundidade = (45 - 30),
inclinacao = (0 - mean_incl)/sd_incl,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Mais profundidade - Modelo Original
p2_orig <- predict(fit,
newdata = data.frame(frente = 15,
profundidade = 45,
inclinacao = 0,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Mais frente e mais profundidade
p3 <- predict(fit1,
newdata = data.frame(frente = (20 - 15),
profundidade = (45 - 30),
inclinacao = (0 - mean_incl)/sd_incl,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Mais profundidade e profundidade - Modelo Original
p3_orig <- predict(fit,
newdata = data.frame(frente = 20,
profundidade = 45,
inclinacao = 0,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Declive
p4 <- predict(fit1,
newdata = data.frame(frente = (15 - 15),
profundidade = (30 - 30),
inclinacao = (-.1 - mean_incl)/sd_incl,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Declive - Modelo Original
p4_orig <- predict(fit,
newdata = data.frame(frente = 15,
profundidade = 30,
inclinacao = -.1,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Aclive
p5 <- predict(fit1,
newdata = data.frame(frente = (15 - 15),
profundidade = (30 - 30),
inclinacao = (.1 - mean_incl)/sd_incl,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Aclive - Modelo Original
p5_orig <- predict(fit,
newdata = data.frame(frente = 15,
profundidade = 30,
inclinacao = .1,
pedologia = as.factor("seco")
)
)
### Pantanoso
p6 <- predict(fit1,
newdata = data.frame(frente = (15 - 15),
profundidade = (30 - 30),
inclinacao = (0 - mean_incl)/sd_incl,
pedologia = as.factor("pantanoso")
)
)
### Pantanoso - Modelo Original
p6_orig <- predict(fit,
newdata = data.frame(frente = 15,
profundidade = 30,
inclinacao = 0,
pedologia = as.factor("pantanoso")
)
)
co <- coef(fit)
c1 <- coef(fit1)
```
Segundo o modelo, o lote paradigma vale R\$`r brf(p)`/$m^2$, o que é muito próximo do intercepto do modelo final (R\$ `r brf(c1[1])`/$m^2$). Apenas para efeito de comparação, o mesmo lote paradigma avaliado de acordo com o modelo com os dados originais vale `r brf(p_orig)`/$m^2$.
Um lote com as mesmas características do lote paradigma, porém com 5m a mais de frente, segundo o modelo, vale R\$`r brf(p1)`/$m^2$ ($\approx$ `r brf(c1[1])` + `r brf(c1[2], digits = 3)`.5m). No modelo original, vale `r brf(p1_orig)`/$m^2$.
Um lote com as mesmas características do lote paradigma, porém com 45m de profundidade, segundo o modelo, vale R\$`r brf(p2)`/$m^2$ ($\approx$ `r brf(c1[1])` `r brf(c1[3], digits = 3)`.15m). No modelo original, vale `r brf(p2_orig)`/$m^2$.
Um lote com as mesmas características do lote paradigma, porém com 20m de frente e 45m de profundidade, segundo o modelo, vale R\$`r brf(p3)`/$m^2$. No modelo original, vale `r brf(p3_orig)`/$m^2$.
Um lote com as mesmas características do lote paradigma, porém com declive de 10%, segundo o modelo, vale R\$`r brf(p4)`/$m^2$ . No modelo original, vale `r brf(p4_orig)`/$m^2$ ($\approx$ `r brf(c1[1])` `r brf(co[4], digits = 3)`.$(-0,10)^2$ `r brf(co[5], digits = 3)`.$(-0,10)^3$ = `r brf(c1[1])` `r brf((-.1)^2*co[4], digits = 3)` + `r brf((-.1)^3*co[5], digits = 3)`).
Um lote com as mesmas características do lote paradigma, porém com aclive de 10%, segundo o modelo, vale R\$`r brf(p5)`/$m^2$ . No modelo original, vale `r brf(p5_orig)`/$m^2$ ($\approx$ `r brf(c1[1])` `r brf(co[4], digits = 3)`.$0,10^2$ `r brf(co[5], digits = 3)`.$0,10^3$ = `r brf(c1[1])` `r brf((.1)^2*co[4], digits = 3)` `r brf((.1)^3*co[5], digits = 3)`).
Finalmente, um lote com as mesmas características do lote paradigma, porém em terreno pantanoso, segundo o modelo, vale R\$`r brf(p6)`/$m^2$ ($\approx$ `r brf(c1[1])` `r brf(c1[6])`). No modelo original, vale `r brf(p6_orig)`/$m^2$.
A tabela abaixo resume a influência de cada variável na composição do valor unitário total:
| Terreno |$V_0$ |$Frente$ |$Profundidade$ |$Inclinacao$ |$Pedologia$ |$VU$ |
|:--------------|-------------:|---------------:|-----------------:|-------------------------------:|-------------:|----:|
| Paradigma |`r brf(c1[1])`| 0 | 0 | 0 |0 |54,27|
| (1)+5m frente |`r brf(c1[1])`|`r brf(5*c1[2])`| 0 | 0 |0 |59,25|
| (2)+15m fundo |`r brf(c1[1])`| 0 |`r brf(15*c1[3])` | 0 |0 |51,59|
| (3)=(1)+(2) |`r brf(c1[1])`|`r brf(5*c1[2])`|`r brf(15*c1[3])` | 0 |0 |56,60|
| (4)10% aclive |`r brf(c1[1])`| 0 |0 |`r brf(.01*co[4]+.0001*co[5])` |0 |51,47|
| (5)10% declive|`r brf(c1[1])`| 0 |0 |`r brf(-.01*co[4]+-.0001*co[5])`|0 |53,61|
| (6)Pantanoso |`r brf(c1[1])`| 0 |0 |0 |`r brf(c1[6])`|33,16|
Pode-se então, baseado nestes modelos, adaptar, para posteriormente serem utilizados através do método de avaliação por fatores, o seguinte:
a. Fator frente: $$C_f = 1 + \frac{0,997}{54,27}*(F_p - F_r)$$
b. Fator profundidade: $$C_p = 1 - \frac{0,178}{54,27}*(P_e - P_r)$$
c. Fator topografia: $$C_t = 1 - \frac{173,1.(i_r)^2 + 1071,9.(i_r)^3}{54,27}$$
d. Fator pedologia: $$C_{pedo} = 1 - \frac{21,11}{54,25} = 0,61$$
É interessante notar que, para os termos polinomiais da variável `inclinacao`, para o estabelecimentos dos fatores, foram utilizados os coeficientes do primeiro modelo. Isto só foi possível porque a média da variável `inclinacao` já era muito próxima de zero. Desta maneira, a diferença entre a adoção dos coeficientes do segundo modelo e os coeficientes do primeiro modelo, na elaboração dos fatores, é irrisória. No entanto, a facilidade de obtenção dos fatores com o primeiro modelo é muito maior, e o resultado muito mais elegante, razões da adoção, então, dos coeficientes do primeiro modelo.
| Terreno |$C_f$ | $C_p$ | $C_t$ |$C_{pedo}$ |$C_{aval. total}$ |
|:--------------|--------:|------:|------:|----------:|-----------------:|
| (1)Paradigma | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
| (2)+5m frente | 1,09 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,09 |
| (3)+15m fundo | 1,00 | 0,95 | 1,00 | 1,00 | 0,95 |
| (4)=(2)+(3) | 1,09 | 0,95 | 1,00 | 1,00 | 1,04 |
| (5)10% aclive | 1,00 | 1,00 | 0,95 | 1,00 | 0,95 |
| (6)10% declive| 1,00 | 1,00 | 0,99 | 1,00 | 0,99 |
| (7)Pantanoso | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 0,61 | 0,61 |
## Estudo de caso n.º 2
Para este segundo estudo de caso foram aplicados dados reais de mercado no bairro Jurerê em Florianópolis de julho/2017.
```{r}
jurere <- readxl::read_excel("jurere.xls")
jurere$PAVIMENTOS <- as.factor(jurere$PAVIMENTOS)
jurere$PROFUNDIDADE <- with(jurere, AREA/TESTADA)
```
```{r, results='asis'}
dfSummary(jurere[, 2:13], plain.ascii = FALSE, style = "grid",
graph.magnif = 0.75, valid.col = FALSE, tmp.img.dir = "/tmp")
```
Neste caso, o lote paradigma é um terreno com 450$m^2$ com 15m de testada, em situação de meio de quadra, o que foi modelado pela variável dicotômica `ESQUINA` (0 ou 1). As variáveis `AREA` e `TESTADA` foram centralizadas nestes valores. Já a variável `DIST_MAR` foi centralizada a 500m do mar, valor próximo da média amostral. Além das variáveis numéricas citadas, foi utilizada a variável `PAVIMENTOS` (dicotômica), que representa o número de pavimentos viável estabelecido para o local do imóvel (2 ou 4).
```{r}
fit <- lm(VU ~ I(AREA^2) + TESTADA + DIST_MAR + PAVIMENTOS,
data = jurere, subset = -27)
jurere$AREA <- as.vector(scale(jurere$AREA, center = 450, scale = FALSE))
jurere$TESTADA <- as.vector(scale(jurere$TESTADA, center = 15, scale = FALSE))
jurere$PROFUNDIDADE <- as.vector(scale(jurere$PROFUNDIDADE, center = 30, scale = FALSE))
jurere$DIST_MAR <- as.vector(scale(jurere$DIST_MAR, center = 500, scale = FALSE))
fit1 <- lm(VU ~ I(AREA^2) + TESTADA + DIST_MAR + PAVIMENTOS,
data = jurere, subset = -27)
c1 <- coef(fit1)
#summary(fit)
```
As principais estatísticas dos modelos com e sem centralização podem ser vistas na tabela \ref{tab:fitsjurere}. Mais uma vez, os dois modelos se equivalem.
```{r fitsjurere, results='asis'}
stargazer(fit, fit1, type = "text", header = FALSE, label = "tab:fitsjurere",
title = "Modelo para terrenos no bairro Jurerê (2017).",
decimal.mark = ",", digit.separator = ".",
intercept.bottom = FALSE, intercept.top = TRUE,
report = "vcstp*", star.cutoffs = c(0.30, 0.20, 0.10))
```
```{r pplot2, fig.cap = "Poder de predição do modelo (Jurerê)."}
power_plot(fit1)
```
Desta maneira, novamente conseguiu-se dar interpretação ao intercepto do modelo.
Outra vantagem da centralização é a redução da multicolinearidade do modelo. No primeiro modelo, sem centralização, as variáveis `AREA` e `TESTADA` apresentam maior grau de colinearidade do que no modelo com as variáveis centralizadas, usando o critério do fator de inflacionamento da variância.
```{r}
vif(fit)
vif(fit1)
```
Para este caso em específico, apesar dos altos valores dos fatores, a multicolineariedade não era um problema concreto, mas é significativa a diminuição da inflação da variância com o modelo centralizado. Isto pode ser importante em outras situações.
Analogamente ao primeiro caso, com o auxílio do modelo foram ajustados os seguintes fatores:
a. Fator Área: $$C_A = 1 - \frac{2,014.10^{-3}}{2.065,37}*(A - A_r)^2$$
b. Fator Frente: $$C_f = 1 + \frac{100,51}{2.065,37}*(F_p - F_r)$$
c. Fator Localização: $$C_l = 1 - \frac{2,09}{2.065,37}*(D - D_r)$$
d. Fator Incorporação: $$C_i = 1 + \frac{1.912,31}{2.065,37} = 1,925$$
```{r}
p <- predict(fit,
newdata = data.frame(AREA = 450, TESTADA = 15, DIST_MAR = 500,
PAVIMENTOS = as.factor(2)),
interval = "confidence", level = 0.80)
newdata = data.frame(AREA = (450 - 450), TESTADA = (15 - 15),
PROFUNDIDADE = (30-30), DIST_MAR = (500 - 500),
PAVIMENTOS = as.factor(2), ESQUINA = 0)
p1 <- predict(fit1, newdata = newdata, interval = "confidence", level = 0.80)
newdata$AREA <- 100
p2 <- predict(fit1, newdata = newdata, interval = "confidence", level = 0.80)
newdata$AREA <- 0
newdata$TESTADA <- 5
p3 <- predict(fit1, newdata = newdata, interval = "confidence", level = 0.80)
newdata$AREA <- 100
p4 <- predict(fit1, newdata = newdata, interval = "confidence", level = 0.80)
newdata$AREA <- 0
newdata$TESTADA <- 0
newdata$DIST_MAR <- (33-500)
p5 <- predict(fit1, newdata = newdata, interval = "confidence", level = 0.80)
newdata$DIST_MAR <- 0
newdata$PAVIMENTOS <- as.factor(4)
p6 <- predict(fit1, newdata = newdata, interval = "confidence", level = 0.80)
```
| Terreno |$C_A$ | $C_f$ | $C_l$ |$C_{i}$ |$C_{aval. total}$ |
|:---------------|-----:|------:|------:|----------:|-----------------:|
| (1)Paradigma | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
| (2)+100m2 área | 0,99 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 0,99 |
| (3)+5m frente | 1,00 | 1,24 | 1,00 | 1,00 | 1,24 |
| (4)=(2)+(3) | 0,99 | 1,24 | 1,00 | 1,00 | 1,23 |
| (5)33m do mar | 1,00 | 1,00 | 1,47 | 1,00 | 1,47 |
| (6)viab. 4 pav.| 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,925 | 1,925 |
# CONCLUSÃO
O modelo com os dados centralizados possibilitou uma melhor interpretação do modelo, haja vista que o intercepto do modelo é aproximadamente o valor do metro quadrado do lote paradigma.
A centralização e escalonamento da variável `inclinacao` possibilitou o enquadramento do modelo no Grau I de fundamentação da NBR 14.653-02.
O cálculo das estimativas através do método científico (modelo de regressão linear), possibilitou o correto entendimento da influência da variável `inclinacao` que, neste caso, teve comportamento diverso ao do esperado pelo método de fatores. Neste, presume-se que a variável `inclinacao` deprecie mais quando em aclive do que em situação de declive, porém, através da análise do modelo de regressão linear, o comportamento foi o contrário do esperado. Cabe salientar que, caso o coeficiente do termo cúbico tivesse resultado positivo, a variável `inclinacao` teria comportamento similar ao comportamento esperado pelo método de fatores.
Com respeito ao modelo de Jurerê, mostrou-se que o método também se aplica em dados que apresentam outras características, sendo facilmente aplicável na elaboração de plantas de valores genéricos e no cálculo dos coeficientes de avaliação/homogeneização usados tradicionalmente pelas prefeituras para cálculo do valor base para cobrança do Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU).
# REFERÊNCIAS {-}