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\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{float}
\newcommand{\n}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\g}[1]{\\\stackrel{\text{#1}}{=}}
\begin{document}
\title{Grundlagen der Rechnerarchitektur\\ Übungsblatt 5}
\date{}
\author{Tarik Enderes, Jonas Strauch}
\maketitle
\begin{description}
\item[1.]
\begin{description}
\item[a)] Eine Schaltalgebra ist ein Spezialfall einer booleschen Algebra, in der nur 0 und 1 als Werte vorkommen.
\item[b)]
\begin{description}
\item[i.] NOR:\\
\begin{math}
x_1\cdot x_2\g{Doppelnegation}\n{\n{x_1\cdot x_2}}
\g{DeMorgan}\n{\n{x_1}+\n{x_2}}
\g{Idempotenz}\n{\n{x_1 + x_1} + \n{x_2 + x_2}}
\g{Definition}(x_1\n{+}x_1)\n{+}(x_2\n{+}x_2)
\end{math}
\\\\NAND:\\
\begin{math}
x_1\cdot x_2\g{Doppelnegation}\n{\n{x_1\cdot x_2}}
\g{Idempotenz}\n{\n{x_1\cdot x_2}\cdot \n{x_1\cdot x_2}}
\g{Definition}(x_1\n{\cdot }x_2)\n{\cdot }(x_1\n{\cdot }x_2)
\end{math}
\item[ii.] NOR:\\
\begin{math}
x_1\cdot \n{x_2}+\n{x_1}\cdot x_2
\g{Idempotenz}x_1\cdot \n{x_2+x_2}+\n{x_1+x_1}\cdot x_2
\g{Definition} x_1\cdot (x_2\n{+}x_2)+(x_1\n{+}x_1)\cdot x_2
\g{i.}(x_1\n{+}x_1)\n{+}((x_2\n{+}x_2)\n{+}(x_2\n{+}x_2))
+((x_1\n{+}x_1)\n{+}(x_1\n{+}x_1))\n{+}(x_2\n{+}x_2)
\g{Doppelnegation}\overline{\overline{(x_1\n{+}x_1)\n{+}((x_2\n{+}x_2)\n{+}(x_2\n{+}x_2))
+((x_1\n{+}x_1)\n{+}(x_1\n{+}x_1))\n{+}(x_2\n{+}x_2)}}
\g{Idempotenz}((x_1\n{+}x_1)\n{+}((x_2\n{+}x_2)\n{+}(x_2\n{+}x_2))
\n{+}((x_1\n{+}x_1)\n{+}(x_1\n{+}x_1))\n{+}(x_2\n{+}x_2))\\\n{+}((x_1\n{+}x_1)\n{+}((x_2\n{+}x_2)\n{+}(x_2\n{+}x_2))
\n{+}((x_1\n{+}x_1)\n{+}(x_1\n{+}x_1))\n{+}(x_2\n{+}x_2))
\end{math}
\\\\NAND:\\
\begin{math}
x_1\cdot \n{x_2}+\n{x_1}\cdot x_2
\g{Doppelnegation}\n{\n{x_1\cdot \n{x_2}}}+\n{\n{\n{x_1}\cdot x_2}}
\g{DeMorgan}\n{\n{x_1\cdot \n{x_2}}\cdot \n{\n{x_1}\cdot x_2}}
\g{Idempotenz}\n{\n{x_1\cdot \n{x_2\cdot x_2}}\cdot \n{\n{x_1\cdot x_1}\cdot x_2}}
\g{Definition}(x_1\n{\cdot }(x_2\n{\cdot }x_2))\n{\cdot }((x_1\n{\cdot }x_1)\n{\cdot }x_2)
\end{math}
\end{description}
\end{description}
\item[2.]
\begin{description}
\item[a)]
\begin{tabular}{c | c | c | c | c}
$x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $f(x)$\\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{tabular}
\item[b)]
DKNF:\\
\begin{math}
f(x) = x_1\n{x_2}\n{x_3}\n{x_4} + x_1\n{x_2}x_3x_4 + x_1x_2\n{x_3}x_4 + x_1\n{x_2}\n{x_3}x_4 + x_1x_2x_3\n{x_4} + x_1\n{x_2}x_3\n{x_4} + \n{x_1}\n{x_2}\n{x_3}x_4 + x_1x_2\n{x_3}\n{x_4} + \n{x_1}x_2\n{x_3}\n{x_4} + x_1\n{x_2}\n{x_3}\n{x_4}
\end{math}
\\\\KKNF:\\
\begin{math}
f(x) = (x_1+x_2+x_3+x_4)\cdot (\n{x_1}+\n{x_2}+x_3+x_4)\cdot (\n{x_1}+x_2+\n{x_3}+x_4)\cdot (\n{x_1}+\n{x_2}+\n{x_3}+x_4)\cdot (\n{x_1}+x_2+x_3+\n{x_4})\cdot (\n{x_1}+\n{x_2}+\n{x_3}+\n{x_4})
\end{math}
\item[c)]
\begin{tabular}{c | c | c | c | c | c}
$ & \n{x_1} & x_1 & x_1 & \n{x_1} & \\\hline
\n{x_2} & 0 & 1 & 0 & 1 & \n{x_4}\\\hline
x_2 & 1 & 0 & 0 & 1 & \n{x_4}\\\hline
x_2 & 1 & 1 & 0 & 1 & x_4\\\hline
\n{x_2} & 1 & 0 & 1 & 1 & x_4\\\hline
& \n{x_3} & \n{x_3} & x_3 & x_3 & \\$
\end{tabular}
\\\implies $f(x) = \n{x_1}x_3 + x_2\n{x_3}x_4 + \n{x_1}x_2\n{x_3} + \n{x_1}\n{x_3}x_4 + x_1\n{x_2}\n{x_4}\n{x_3} + \n{x_2}x_3x_4$
\\Da die DKNF und die KKNF äquivalent sind, ist die minimale Funktion von beiden Formen Identisch.
\end{description}
\item[3.]
\begin{description}
\item[a)] DKNF:\\
\begin{math}
f(x) = \n{x_1}\n{x_2}x_3 + \n{x_1}x_2\n{x_3} + \n{x_1}x_2x_3 + x_1\n{x_2}\n{x_3} + x_1x_2x_3
\end{math}
\\\\KKNF:\\
\begin{math}
f(x) = (x_1+x_2+x_3)\cdot (\n{x_1}+x_2+\n{x_3})\cdot(\n{x_1}+\n{x_2}+x_3)
\end{math}
\item[b)] Beide Funktionen haben dieselbe Wertetabelle, aus der sie auch abgeleitet wurden. Sie liefern für dieselbe Eingabe dieselbe Ausgabe. Damit sind sie der Definition nach Äquivalent.
\item[c)]
\begin{tabular}{c | c | c | c | c}
$ & \n{x_1} & x_1 & x_1 & \n{x_1} \\\hline
\n{x_2} & 0 & 1 & 0 & 1 \\\hline
x_2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\hline
& \n{x_3} & \n{x_3} & x_3 & x_3 \\$
\end{tabular}
\\\implies $f(x) = x_1\n{x_2}\n{x_3} + \n{x_1}x_3 + x_2x_3 + \n{x_1}x_2$
\item[d)]
DKNF:\\
\begin{math}
g(x) = \n{x_1}\n{x_2}x_3 + \n{x_1}x_2\n{x_3} + x_1\n{x_2}\n{x_3} + x_1\n{x_2}x_3 x_1x_2\n{x_3} + x_1x_2x_3
\end{math}
\\\\KKNF:\\
\begin{math}
g(x) = (x_1+x_2+x_3)\cdot (x_1+\n{x_2}+\n{x_3})
\end{math}
\item[e)]
\begin{math}
g(x) = (x_1+x_2+x_3)\cdot (x_1+\n{x_2}+\n{x_3})
\g{Distributivität}x_1x_1 + x_1\n{x_2} + x_1\n{x_3} + x_2x_1 + x_2\n{x_2} + x_2\n{x_3} + x_3x_1 + x_3\n{x_2} + x_3\n{x_3}
\g{Idempotenz} x_1 + x_1\n{x_2} + x_1\n{x_3} + x_2x_1 + x_2\n{x_2} + x_2\n{x_3} + x_3x_1 + x_3\n{x_2} + x_3\n{x_3}
\g{Komplementarität} x_1 + x_1\n{x_2} + x_1\n{x_3} + x_2x_1 + x_2\n{x_3} + x_3x_1 + x_3\n{x_2}
\g{Absorption} x_1 + x_2\n{x_3} + x_3\n{x_2}
\end{math}
\end{description}
\item[4.]
\begin{description}
\item[a)]
\begin{math}
f(x_1, x_2, x_3) = \n{x_1}x_3 + x_2\n{x_3}
\\\stackrel{Entwicklung nach x_1}{=}
\n{x_1}x_3 + \n{x_1}x_2\n{x_3} + x_1x_2\n{x_3}
\\\stackrel{Entwicklung nach x_2}{=}
\n{x_1}\n{x_2}x_3 + \n{x_1}x_2x_3 + \n{x_1}x_2\n{x_3} + x_1x_2\n{x_3}
\\\stackrel{Entwicklung nach x_3}{=}
\n{x_1}\n{x_2}x_3 + \n{x_1}x_2x_3 + \n{x_1}x_2\n{x_3} + x_1x_2\n{x_3}
\end{math}
\item[b)]
\begin{math}
f(x_1, x_2, x_3) = \n{x_1} + \n{x_2}x_3
\\\stackrel{Entwicklung nach x_1}{=}
\n{x_1} + \n{x_1}\n{x_2}x_3 + x_1\n{x_2}x_3
\\\stackrel{Entwicklung nach x_2}{=}
\n{x_1}\n{x_2} + \n{x_1}\n{x_2}x_3 + x_1\n{x_2}x_3 + \n{x_1}x_2
\\\stackrel{Entwicklung nach x_3}{=}
\n{x_1}\n{x_2}\n{x_3} + \n{x_1}\n{x_2}x_3 + x_1\n{x_2}x_3 + \n{x_1}x_2\n{x_3} + \n{x_1}\n{x_2}x_3 + \n{x_1}x_2x_3
\end{math}
\end{description}
\end{description}
\end{document}