From 346dcb72c60715a3e161e5aa6c081cc4efcab889 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Wed, 27 Nov 2024 17:14:05 +0800
Subject: [PATCH] Update linearAgrbra.md

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@@ -865,28 +865,46 @@ $$
 ### 齐次线性方程组
 
 - 有解的条件
+
     - 当$r(A)=n(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性无关)$时，方程组有唯一解.
+  
     - 当$r(A)<n(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性相关)$时，方程组有非零解，且有$n-r$个线性无关解.
 - 解的性质
+  
     - 若$A\xi_1=0$，$A\xi_2=0$，则$A(k_1\xi+k_2\xi_2)=0$，其中$k_1$，$k_2$是任意常数.
+      
 - 基础解系和解的结构
+  
     - 若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是方程的线性无关解，则称为基础解系.
+      
     - 则$k_1\xi_1+k_2+\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$是方程组$Ax=0$的通解.
+      
 - 求解的步骤
+  
     - 将系数矩阵$A$通过初等行变换乘行阶梯形矩阵$B$，求解$B$的解，基础解系的个数为$n-r(A)$.
 
 ### 非齐次线性方程组
 
 - 有解的条件
+  
     - 若$r(A)\not=r([A,b])(b不能由A线性表示)$，方程组无解.
+      
     - 若$r(A)=r([A,b])=n(b能由A线性表示)$，方程组有唯一解.
+      
     - 若$r(A)=r([A,b])<n(b能由A线性表示)$，方程组有无穷解.
+      
 - 解的性质
+  
     - 设$\eta_1,\eta_2,\eta$是非齐次线性方程组$Ax=b$的解，$\xi$是对应齐次线性方程组$Ax=0$的解，（1）则$\eta_1-\eta_2$是$Ax=0$的解，（2）$k\xi+\eta$是$Ax=b$的解.
+      
 - 求解的步骤
+  
     - 首先通过齐次方程组的解法求出齐次方程的通解$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$.
+      
     - 求出非齐次方程$Ax=b$的一个特解$\eta$.
+      
     - $Ax=b$的通解是$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta$，其中$k_1,k_2+\cdots+k_{n-r}$是任意常数.（齐次通解+非齐次特解）
+      
 
 ###  两个方程组的公共解
 
@@ -912,8 +930,11 @@ $$
 ### 矩阵的特征值和特征向量求法
 
 - 满足$A\xi=\lambda\xi$，则称$\lambda$是$A$的特征值，$\xi$是特征值对应的特征向量.
+  
 - 通过$(\lambda E-A)\xi=0$有非零解，因此求特征多项式$|\lambda E-A|=0$的解即是特征值.
+  
 - 求出的解是基础解系，例如有基础解系$\xi_1,\xi_2$，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2$是全部特征向量，且$k_1,k_2$不全为$0$.
+  
 
 ### 特征值、特征向量的性质与重要结论
 
@@ -933,9 +954,13 @@ $$
 - 重要结论
 
     - $k$重特征值$\lambda$至多有$k$个线性无关特征向量.
+      
     - 属于不同特征值的特征向量线性无关.
+      
     - 若$\xi_1,\xi_2$是$A$的属于同一个特征值$\lambda$的特征向量，则非零向量$k_1\xi_1+k_2\xi_2$仍然是$A$属于特征值$\lambda$的特征向量.（$k_1,k_2$中有一个为$0$也成立）
+      
     - 若$\xi_1,\xi_2$是$A$的属于不同特征值特征向量，则非零向量$k_1\xi_1+k_2\xi_2$不是任何特征值对应的特征向量.
+      
     - 一个特征向量不能属于两个不同的特征值.
 
 - 常用矩阵的特征值与特征向量
@@ -948,34 +973,58 @@ $$
 ### 矩阵的相似
 
 - 设$A$，$B$是两个$n$阶方阵，若存在$n$阶可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A$相似于$B$，记作$A\sim B$.
+  
 - 若$A\sim B$则（均是必要条件）
+  
     - $|A|=|B|$.
+      
     - $r(A)=r(B)$.
+      
     - $tr(A)=tr(B)$.
+      
     - $\lambda_A=\lambda_B(或|\lambda E-A|=|\lambda E-B|)$.
+      
     - $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$.
+      
     - $A$，$B$各阶主子式之和分别相等.
 
 - 重要结论
+  
     - 若$A\sim B$则$A^k\sim B^k$，$f(A)\sim f(B)$.
+      
     - 若$A\sim B$，且$A$可逆，则$A^{-1}\sim B^{-1}$，$f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$.
+      
     - 若$A\sim B$则$A^*\sim B^*$.
+      
     - 若$A\sim B$则$A^T\sim B^T$.
+      
 - 两个矩阵相似的判别方法
+  
     - 定义法，存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$.
+      
     - 传递性，若$A\sim \Lambda$，$\Lambda \sim B$，则$A \sim B$.
+      
     - 性质，$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$|A|=|B|$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B(或|\lambda E-A|=|\lambda E-B|)$，$A$，$B$各阶主子式之和分别相等.
+      
 
 ### 矩阵的相似对角化
 
 - 设$A$为$n$阶矩阵，若存在$n$阶可逆矩阵，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，$\Lambda$是$A$的相似标准型.
+  
 - 重要结论
+  
     - 若$A$可相似对角化矩阵$\Leftrightarrow A$对应于每个$k_i$重特征值都有$k_i$个线性无关特征向量.
+      
     - $n$阶矩阵$A$有$n$个不同的特征值$\Rightarrow$$A$可相似对角化.
+      
     - $n$阶矩阵$A$为实对称矩阵$\Rightarrow$$A$可相似对角化.
+      
 - 求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$
+  
     - 求$A$的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$.
+      
     - 求特征值对应的特征向量$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$.
+      
     - 令$P=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]$，则$P^{-1}AP=\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots \\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$，注意特征值和特征矩阵的对应顺序.
 
 ### 实对称矩阵相似对角化
@@ -983,17 +1032,17 @@ $$
 - 若$A^T=A$则称为$A$是对称矩阵，若所有元素都是实数，则是实对称矩阵，其对应的特征值也是实数，特征向量是实向量.
 
 - 实对称矩阵相似对角化的基本步骤
-
+  
     - 若$A$为$n$实对称矩阵，则其用正交矩阵$Q$相似对角化的基本步骤如下.
-
+      
     - 求$A$的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$.
-
+      
     - 求特征值对应的特征向量$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$.
-
+      
     - 将$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$正交化，单位化得到$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$.
-
+      
     - 令$Q=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]$，则$Q$为正交矩阵，且$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$.（正交矩阵有$Q^{-1}=Q^T$）
-
+      
     - 施密特正交化
         $$
         设\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关但不正交，令\\
@@ -1023,7 +1072,9 @@ $$
 - 合同有如下性质
 
     - $A\simeq A$（反身）;
+      
     - 若$A\simeq B$，则$B\simeq A$（对称）；
+      
     - 若$A\simeq B$，$B\simeq C$，则$A\simeq C$（传递）.
 
 - 二次型的标准型，规范型.
@@ -1035,6 +1086,7 @@ $$
         则二次型称为标准型.
 
     - 若在标准型中系数$d_i(i=1,2,\cdots,n)$取值范围为${-1,0,1}$，则称为规范型.
+      
     - $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2ab$.
 
 ### 惯性定理
@@ -1056,17 +1108,17 @@ $$
 - 任何实对称矩阵$A$，必存在可逆矩阵$C$，使得$C^TAC=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵.
 
 - 用正交变换将二次型变为标准型，求所用的正交变换以及对应的正交矩阵，解法：
-
+  
     - 将二次型矩阵$A$求出；
-
+      
     - 使用$|\lambda E -A|=0$求出对应的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$；
-
+      
     - 求出对应特征值对应的特征矩阵$\xi_1,\xi_2,\xi_3$；
-
+      
     - 将特征矩阵正交化单位化（施密特正交化），得到$\eta_1,\eta_2,\eta_3$；
-
+      
     - 令正交矩阵$Q=[\eta_1,\eta_2,\eta_3]$；
-
+      
     - 则$x=Qy$是所求的正交变换，有
         $$
         f=x^TAx\xrightarrow{x=Qy}y^T\begin{bmatrix}
@@ -1094,6 +1146,7 @@ $$
 - 正定的必要条件
 
     - $A$正定则$a_ii>0(i=1,2,\cdots,n)$.
+      
     - $A$正定则$|A|>0$.
 
 - 令$f=0$，可以获得平方项的联立方程，求出方程系数行列式，若行列式值不等于$0$，则仅有零解，因此当$x\not=0$，必有$f>0$，$f$是正定二次型.